[论文解读] A subquadratic approximation scheme for partition

Marcin Mucha, Karol Węgrzycki+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 7

一句话总结

本文提出了首个针对 NP-难的 PARTITION 问题的亚二次近似方案，通过将 SUBSET SUM 约化为结构化的子实例，并结合近似算法、伪多项式方法与加法组合学的技术，实现了时间复杂度为 O(n + 1/ε⁵/³) 的随机化 FPTAS。关键成果在于时间复杂度上的突破，打破了该类问题长期存在的二次时间壁垒。

ABSTRACT

The subject of this paper is the time complexity of approximating KNAPSACK, SUBSET SUM, PARTITION, and some other related problems. The main result is an O(n + 1/e5/3) time randomized FPTAS for PARTITION, which is derived from a certain relaxed form of a randomized FPTAS for SUBSET SUM. To the best of our knowledge, this is the first NP-hard problem that has been shown to admit a subquadratic time approximation scheme, i.e., one with time complexity of O((n + 1/e)2-δ) for some δ > 0. To put these developments in context, note that a quadratic FPTAS for PARTITION has been known for 40 years.Our main contribution lies in designing a mechanism that reduces an instance of SUBSET SUM to several simpler instances, each with some special structure, and keeps track of interactions between them. This allows us to combine techniques from approximation algorithms, pseudo-polynomial algorithms, and additive combinatorics.We also prove several related results. Notably, we improve approximation schemes for 3SUM, (min, +)− convolution, and TREESPARSITY. Finally, we argue why breaking the quadratic barrier for approximate KNAPSACK is unlikely by giving an Ω((n + 1/e)2−o(1)) conditional lower bound.

研究动机与目标

• 开发针对 NP-难问题（如 PARTITION、KNAPSACK 和 SUBSET SUM）的亚二次近似方案。
• 克服此类问题近似方案中长期存在的二次时间壁垒。
• 设计一种机制，将 SUBSET SUM 约化为更简单、结构化的子实例，同时追踪子实例间的相互作用。
• 整合近似算法、伪多项式算法与加法组合学技术，以提升效率。
• 建立条件下的下界，以理解近似时间复杂度进一步改进的极限。

提出的方法

• 作者通过将原始实例约化为具有特殊结构属性的多个更简单子实例，设计了 SUBSET SUM 的随机化 FPTAS。
• 他们提出一种机制，用于追踪和管理这些子实例之间的相互作用，以保持近似保证。
• 该方法结合加法组合学技术，以控制子实例的结构并确保高效计算。
• 将 SUBSET SUM 的松弛形式随机化 FPTAS 适配用于推导 PARTITION 的亚二次 FPTAS。
• 该方法利用在结构化子实例上的伪多项式算法，以实现整体更快的运行时间。
• 该框架被扩展以改进 3SUM、(min, +)-卷积 和 TREESPARSITY 的近似方案。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 NP-难的 PARTITION 问题实现亚二次近似方案，从而打破二次时间壁垒？
• RQ2 对 SUBSET SUM 的何种结构约化可实现更快的近似，同时保持准确性？
• RQ3 如何将近似算法、伪多项式方法与加法组合学技术结合，以提升运行时间？
• RQ4 在亚二次时间内近似 KNAPSACK 的条件下的下界是什么？
• RQ5 该框架能否推广以改进其他问题（如 3SUM 和 (min, +)-卷积）的近似方案？

主要发现

• 本文首次提出 PARTITION 问题的亚二次 FPTAS，时间复杂度为 O(n + 1/ε⁵/³)，相比已知的 40 年前的二次 FPTAS 实现了运行时间的显著提升。
• 该结果源自对 SUBSET SUM 的松弛随机化 FPTAS，该方案使约化到具有受控相互作用的结构化子实例成为可能。
• 该框架通过利用相同的底层机制，改进了 3SUM、(min, +)-卷积 和 TREESPARSITY 的近似方案。
• 建立了 Ω((n + 1/ε)²⁻ᵒ⁽¹⁾) 的条件性下界，表明打破近似 KNAPSACK 的二次时间壁垒是不太可能的。
• 将加法组合学与近似算法及伪多项式技术相结合，为 NP-难问题的亚二次算法开辟了全新路径。