[论文解读] A subspace shift technique for solving close-to-critical nonsymmetric algebraic Riccati equations

Bruno Iannazzo, Federico Poloni|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2010

Matrix Theory and Algorithms参考文献 19被引用 2

一句话总结

本文提出了一种子空间位移技术，用于在求解具有M-矩阵结构的接近临界点的非对称代数Riccati方程（NAREs）时，加速收敛并改善条件性。通过修改迭代子空间迭代过程以抵消接近奇异时的病态性，该方法在无需完整矩阵求逆的情况下恢复了快速收敛，数值实验验证了其在具有挑战性的场景中具有鲁棒的性能。

ABSTRACT

The worst situation in computing the minimal nonnegative solution X� of a nonsymmetric algebraic Riccati equation R(X) = 0 associated with an M-matrix occurs when the derivative of R at Xis near to a singular matrix. When the derivative of R at Xis singular, the problem is ill-conditioned and the convergence of the algorithms based on matrix iterations is slow; however, there exist some techniques to remove the singularity and restore well-conditioning and fast convergence. This phenomenon is partially shown also in the close-to-critical case, but the techniques used for the null recurrent case cannot be applied to this setting. We present a new method to accelerate the convergence and amend the conditioning in close-to-critical cases. The numerical experiments confirm the efficiency of the new method.

研究动机与目标

• 解决在求解具有M-矩阵结构的接近临界点非对称代数Riccati方程（NAREs）时出现的收敛缓慢和条件性差的问题。
• 克服现有奇异点消除技术的局限性，这些技术仅在零常返（精确奇异）情况下有效，而无法适用于接近临界的情形。
• 开发一种方法，在Riccati算子的导数接近奇异时，恢复NARE求解器的快速收敛性和良好条件性。
• 为病态NARE问题提供一种数值鲁棒且高效的替代标准迭代方法。

提出的方法

• 该方法引入了一种子空间位移技术，通过修改迭代子空间迭代过程以抵消接近奇异时的病态性。
• 以一种避免直接求逆近似奇异的导数矩阵的方式重新定义搜索子空间，从而保持数值稳定性。
• 该位移源自一种类似降维的机制，可将迭代空间中的问题方向隔离出来。
• 该方法利用NARE的M-矩阵结构，确保修改后的迭代过程保持良好条件性和收敛性。
• 该算法将子空间位移集成到标准的定点或牛顿型迭代中，而不改变Riccati方程的基本结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在导数接近奇异的接近临界点非对称代数Riccati方程中，如何加速收敛？
• RQ2 为何现有奇异点消除技术在接近临界情况下失效，以及何种替代方法可恢复良好条件性？
• RQ3 能否设计一种子空间位移技术，在无需完整矩阵分解的情况下改善条件性和收敛性？
• RQ4 子空间位移对病态环境下NARE求解器的数值稳定性和效率有何影响？

主要发现

• 所提出的子空间位移技术成功在标准迭代方法收敛缓慢的接近临界点NARE问题中恢复了快速收敛。
• 该方法通过有效隔离并缓解近似奇异导数方向的影响，改善了数值条件性。
• 数值实验表明，即使导数接近奇异，该技术仍保持鲁棒性和高效性，优于标准迭代求解器。
• 该方法避免了完整矩阵求逆或显式正则化，从而保持了计算效率。