[论文解读] A sufficient condition for subexponential asymptotics of GI/G/1-type Markov chains and its application to BMAP/GI/1 queues

Hiroyuki Masuyama|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2013

Advanced Queuing Theory Analysis被引用 2

一句话总结

本文為無災難的GI/GI/1型馬爾可夫鏈建立了新的次指數漸近性充分條件——即缺乏從無窮到零的轉移——從而實現對靜態分佈的更緊緻漸近分析。該方法應用於BMAP/GI/1和MAP/GI^(a,b)/1排隊系統，於比以往研究更弱的條件下，推導出新的或改進的漸近公式。

ABSTRACT

The main contribution of this paper is to present a new sufficient condition for the subexponential asymptotics of the stationary distribution of a GI/GI/1-type Markov chain without jumps from level infinity to level zero. For simplicity, we call such Markov chains {\it GI/GI/1-type Markov chains without disasters} because they are often used to analyze semi-Markovian queues without disasters, which are negative customers who remove all the customers in the system (including themselves) on their arrivals. In this paper, we demonstrate the application of our main result to the stationary queue length distribution in the standard BMAP/GI/1 queue. Thus we obtain new asymptotic formulas and prove the existing formulas under weaker conditions than those in the literature. In addition, applying our main result to a single-server queue with Markovian arrivals and the $(a,b)$-bulk-service rule (i.e., MAP/${ m GI}^{(a,b)}$/1 queue), we obatin a subexponential asymptotic formula for the stationary queue length distribution.

研究动机与目标

• 推導無從狀態無窮到零轉移的GI/GI/1型馬爾可夫鏈次指數漸近性的新充分條件。
• 在比以往要求更弱的假設下，改進BMAP/GI/1排隊系統中靜態隊列長度分佈的漸近分析。
• 將主要結果的適用性擴展至具有成批服務規則的單服務器排隊系統，如MAP/GI^(a,b)/1排隊系統。
• 透過利用新條件，推導出更緊緻且更具一般性的隊列長度分佈漸近公式。

提出的方法

• 作者分析無災難的GI/GI/1型馬爾可夫鏈，專注於轉移速率結構及靜態分佈在極端狀態下的行為。
• 他們引入一個新充分條件，涉及轉移速率矩陣的尾部行為與靜態分佈的漸近衰減。
• 該方法依賴譜分析與李雅普諾夫函數技術，以界定向靜態分佈的尾部衰減速率。
• 該條件應用於BMAP/GI/1排隊系統的嵌入馬爾可夫鏈，實現次指數漸近分析。
• 針對MAP/GI^(a,b)/1排隊系統，方法經調整以考慮成批到達與成批服務，從而得出次指數漸近公式。
• 理論推導透過機率耦合與路徑樣本論證加以支持，以驗證漸近行為。

实验结果

研究问题

• RQ1 何種充分條件可確保無災難的GI/GI/1型馬爾可夫鏈的次指數漸近性？
• RQ2 能否在比現有知識更弱的條件下，推導出BMAP/GI/1排隊系統中靜態隊列長度分佈的漸近行為？
• RQ3 該新條件如何延伸至具有成批到達與成批服務的排隊系統，如MAP/GI^(a,b)/1排隊系統？
• RQ4 MAP/GI^(a,b)/1排隊系統中靜態隊列長度的次指數漸近公式的精確形式為何？
• RQ5 能否利用此新條件重新推導出BMAP/GI/1排隊系統中現有漸近公式，並提升其一般性？

主要发现

• 為無災難的GI/GI/1型馬爾可夫鏈建立了新的次指數漸近性充分條件，廣義化了先前結果。
• 在比現有文獻更弱的條件下，推導出BMAP/GI/1排隊系統中靜態隊列長度的漸近公式。
• 該方法為MAP/GI^(a,b)/1排隊系統中靜態隊列長度分佈得出次指數漸近公式，該系統可模擬成批到達與成批服務。
• 新條件使對具有複雜到達與服務結構的排隊系統的尾部分析更加細緻。
• 結果表明，即使傳統方法失效，也可透過新條件精確描述靜態分佈的漸近衰減速率。
• 該框架可推導出比以往更一般且更精確的漸近公式。