[论文解读] A Suggested Answer To Wallstrom's Criticism: Zitterbewegung Stochastic Mechanics I

Maaneli Derakhshani|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2015

Quantum Mechanics and Applications被引用 6

一句话总结

本文通过引入一种zitterbewegung（ZB）随机力学（ZSM）模型，解决了Wallstrom对随机力学的批评。该模型假设无自旋粒子在其瞬时静止参考系中以频率 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ 进行连续的相对论性振荡。通过对ZB运动的时间对称相位施加保守扩散，速度势 $S$ 自然满足量子化条件，且哈密顿-雅可比-马德拉翁方程可恢复为薛定谔方程。该模型成功地从动力学出发推导出中心势场中的角动量与能量量子化，无需人为假设，提供了量子化的动力学起源。

ABSTRACT

Wallstrom's criticism of existing formulations of stochastic mechanics is that they fail to derive the empirical predictions of orthodox quantum mechanics because they require an ad hoc quantization condition on the postulated velocity potential, \emph{S}, in order to derive Schrödinger wave functions. We propose an answer to this criticism by modifying the Nelson-Yasue formulation of non-relativistic stochastic mechanics for a spinless particle with the following hypothesis: a spinless Nelson-Yasue particle of rest mass $m$ continuously undergoes a driven steady-state oscillation of `zitterbewegung' (\emph{zbw}) frequency, $ω_{c}=\left(1/\hbar ight)mc^{2}$, in its instantaneous mean forward (and backward) translational rest frame. With this hypothesis we show that, in the lab frame, \emph{S} arises from imposing the constraint of conservative diffusions on the time-symmetrized steady-state phase of the \emph{zbw} particle, satisfies the required quantization condition, and evolves in time by the Hamilton-Jacobi-Madelung equations (when generalized to describe a statistical ensemble of \emph{zbw} particles). From the mathematical equivalence of Schrödinger's equation with the Hamilton-Jacobi-Madelung equations plus the quantization condition, Schrödinger wave functions for a spinless particle (in and excluding external fields) are thereby recovered. We also apply this `zitterbewegung stochastic mechanics' (ZSM) to the case of a central potential and show that it predicts angular momentum quantization. This paper sets the foundation for Part II, which will (primarily) work out the many-particle version of ZSM.

研究动机与目标

• 为解决Wallstrom的批评：现有随机力学形式化要求对速度势 $S$ 强加人为的量子化条件，才能恢复单值的薛定谔波函数。
• 通过在粒子瞬时静止参考系中引入频率为 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ 的zitterbewegung（ZB）振荡，发展一种物理上合理的、非人为的量子化条件推导。
• 证明由ZB相位上的保守扩散所得到的速度势 $S$ 满足所需的量子化条件，并通过哈密顿-雅可比-马德拉翁方程演化。
• 证明该模型能重现量子力学的经验预测，包括在中心势场中角动量与能量的量子化，而无需从一开始就假设量子化。

提出的方法

• 在无自旋粒子的瞬时静止参考系中引入频率为 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ 的zitterbewegung（ZB）振荡，将其建模为受驱的稳态振荡。
• 在实验室参考系中定义ZB运动的时间对称相位，并对该相位施加保守扩散约束，以推导出速度势 $S$。
• 通过将随机变分原理应用于ZB粒子的作用量，推导出哈密顿-雅可比-马德拉翁方程，表明 $S$ 的演化与量子动力学一致。
• 利用哈密顿-雅可比-马德拉翁方程与薛定谔方程之间的数学等价性，结合所推导出的 $S$，恢复出单值的薛定谔波函数。
• 将ZSM框架应用于中心势场，计算相位演化，并证明沿闭合轨道的总相位变化导致作用量积分的量子化。
• 证明量子化条件 $\oint p_\alpha d\alpha = nh$ 自然地由ZB假设与洛伦兹变换导出，无需人为假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机力学中对速度势 $S$ 的量子化条件能否从物理的、相对论性的机制中导出，而非人为强加？
• RQ2 在粒子静止参考系中引入频率为 $\omega_c = (1/\hbar)mc^2$ 的zitterbewegung振荡，是否能通过哈密顿-雅可比-马德拉翁形式化自然导出薛定谔方程？
• RQ3 Zitterbewegung随机力学模型如何在中心势场（如氢原子）中重现角动量的量子化？
• RQ4 氢原子的能级，包括玻尔半径与基态能量，能否仅从ZB相位演化与力平衡中推导，而无需假设量子化？
• RQ5 ZB模型是否能为束缚态中作用量的量子化提供一种动力学的、非循环的解释，而非玻尔的假设性后设？

主要发现

• 由ZB相位上的保守扩散所导出的速度势 $S$ 满足所需的量子化条件 $\oint p_\alpha d\alpha = nh$，且无需人为假设。
• 该模型通过哈密顿-雅可比-马德拉翁方程恢复了薛定谔方程，建立了从随机性、相对论性粒子模型出发的量子力学动力学推导。
• 在中心势场中，ZB相位演化导致角动量量子化 $L_\alpha = mv_\alpha r = n\hbar$，其中 $n$ 为整数。
• 该模型将玻尔半径 $r_n = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} n^2$ 作为ZB诱导的量子化与经典力平衡的结果自然导出。
• 能级被量子化为 $E_n = \frac{E_1}{n^2}$，其中 $E_1 = -13.6\,\text{eV}$，与氢原子的基态能量一致。
• 量子化条件 $\oint p_\alpha d\alpha = nh$ 自然地由ZB振荡与洛伦兹变换导出，取代了玻尔的假设性后设，代之以相对论性动力学约束。