[论文解读] A survey of (\infty, 1)-categories

Julia E. Bergner|ArXiv.org|Oct 9, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文综述了四类等价的(∞,1)-范畴模型——单纯范畴、塞加尔范畴、完备塞加尔空间与准范畴——通过伴随函子展示了它们之间的奎伦等价性。主要贡献在于建立了一个全面的奎伦等价网络，将所有四套框架相互关联，证实了它们在具有可逆高阶态射的同伦理论中的可互换性。

ABSTRACT

In this paper we give a summary of the comparisons between different definitions of so-called (\infty,1)-categories, which are considered to be models for \infty-categories whose n-morphisms are all invertible for n>1. They are also, from the viewpoint of homotopy theory, models for the homotopy theory of homotopy theories. The four different structures, all of which are equivalent, are simplicial categories, Segal categories, complete Segal spaces, and quasi-categories.

研究动机与目标

• 提供对四类(∞,1)-范畴模型的全面概述：单纯范畴、塞加尔范畴、完备塞加尔空间与准范畴。
• 通过其各自模型范畴之间的奎伦等价性，确立这些模型的等价性。
• 阐明(∞,1)-范畴作为同伦理论的同伦理论之模型的作用。
• 突出这些模型在代数几何、K-理论与稳定同伦理论中的优势，相较于经典导出范畴更具优越性。
• 在高阶范畴理论的语境下，介绍基础工具，如一致单形化函子、刚化函子与总单形集函子。

提出的方法

• 利用模型范畴理论，形式化四类(∞,1)-范畴模型中的弱同构、纤维化与协纤维化。
• 通过伴随函子（如一致单形化函子、刚化函子与总单形集函子）构建其模型范畴之间的奎伦等价性。
• 应用从单纯范畴到塞加尔范畴的单形化函子N，及其左伴随函子F，建立单纯范畴与塞加尔预范畴之间的奎伦等价性。
• 通过W*₀将完备塞加尔空间映射到单形集的函子i*₁，定义完备塞加尔空间与准范畴之间的奎伦等价性。
• 引入总单形集函子t!及其右伴随函子t!，构建完备塞加尔空间与准范畴之间的第二个奎伦等价性。
• 应用对角函子d*及其右伴随函子d*，关联塞加尔范畴与准范畴，建立二者之间的第二个奎伦等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 四类(∞,1)-范畴模型——单纯范畴、塞加尔范畴、完备塞加尔空间与准范畴——在同伦等价性方面如何相互关联？
• RQ2 哪些函子建立了这些结构模型范畴之间的奎伦等价性？
• RQ3 为何这些模型被视为等价？这对同伦理论的同伦理论意味着什么？
• RQ4 在代数几何与K-理论中，这些模型如何优于经典导出范畴？
• RQ5 一致单形化函子与刚化函子如何在单纯范畴与准范畴之间起中介作用？

主要发现

• 一致单形化函子N: SC → QCat及其左伴随函子J，构成单纯范畴与准范畴之间的奎伦等价性。
• 单形化函子N: SeCat_f → SeCat_c及其左伴随函子F，构成塞加尔预范畴与塞加尔范畴之间的奎伦等价性。
• 存在两条不同的奎伦等价性，将完备塞加尔空间与准范畴关联：一条通过函子i*₁及其左伴随函子p*₁，另一条通过总单形集函子t!及其右伴随函子t!。
• 塞加尔范畴与准范畴之间也存在两条奎伦等价性：一条通过j*与q*，另一条通过d*与d*。
• 所有四类模型彼此之间均为奎伦等价，形成一个等价网络，证实了它们作为(∞,1)-范畴模型在结构上的等价性。
• 这些等价性表明，任一模型中编码的同伦信息均可无损地转移至其他任意模型，支持其在高阶范畴理论中作为可互换框架的使用。