[论文解读] A survey on hyperbolicity of projective hypersurfaces

Simone Diverio, Erwan Rousseau|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 21

一句话总结

本综述全面概述了复射影超曲面中的双曲性，重点探讨了通过喷射微分与曲率正性来建立全纯曲线代数退化性的方法。通过喷射丛上的交点理论与受控极点阶向量场，推导出通用超曲面的度数有效界（小于 $2^{n^5}$），该结果适用于度数为 $d$ 的通用超曲面。

ABSTRACT

These are lecture notes of a course held at IMPA, Rio de Janiero, in september 2010: the purpose was to present recent results on Kobayashi hyperbolicity in complex geometry. Our ultimate goal is to describe the results obtained on questions related to the geometry of entire curves traced in generic complex projective hypersurfaces of high degree. For the convenience of the reader, this survey tries to be as self contained as possible.

研究动机与目标

• 提供复几何中Kobayashi双曲性近期进展的自包含综述，尤其聚焦于射影超曲面。
• 通过喷射微分，弥合解析双曲性（无全纯曲线）与代数双曲性（曲线亏格的统一下界）之间的鸿沟。
• 基于全局喷射微分的消失条件，建立通用在 $\mathbb{P}^{n+1}$ 中的超曲面双曲性的有效度数界 $d < 2^{n^5}$。
• 形式化一种策略：利用不变喷射微分与受控向量场，强制全纯曲线的代数退化性。
• 将Voisin等人基于代数方法的框架扩展为使用喷射塔上交点理论的定量、有效框架。

提出的方法

• 通过全纯圆盘链构造Kobayashi伪距离，并应用Brody准则，以全纯曲线的非存在性来刻画双曲性。
• 将代数双曲性定义为曲线亏格的统一下界，其与Lang–Vojta猜想相关联。
• 在定向流形上发展喷射丛与喷射微分作为不变量，利用射影化喷射丛与典范线丛。
• 应用Ahlfors–Schwarz引理，通过全局喷射微分在充分大除子上消失的性质，将曲率负性与双曲性关联。
• 在超曲面的普遍族上使用极点阶受控的向量场，生成新的喷射微分，同时保持消失条件。
• 在喷射塔上使用交点理论，计算一个多项式 $\mathsf{P}_{\mathbf{a},\delta}(d)$，其正性可推出具有受控消失阶的全局喷射微分的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{P}^{n+1}$ 中，度数为 $d$ 的通用射影超曲面为Kobayashi双曲性的有效度数界 $d$ 是多少？
• RQ2 如何利用喷射微分与曲率正性，强制紧致复流形中全纯曲线的代数退化性？
• RQ3 能否利用在充分大除子上消失的全局喷射微分的存在性，推导出双曲超曲面度数的有效界？
• RQ4 为保持喷射微分消失条件，在微分过程中对向量场的极点阶需要何种控制？
• RQ5 如何在喷射塔上使用交点理论，估计所得关于 $d$ 的多项式的首项系数与根的行为？

主要发现

• 建立了通用射影超曲面在 $\mathbb{P}^{n+1}$ 中双曲性的有效度数界 $d < 2^{n^5}$，该结果源于喷射塔上交点积的正性。
• 当 $\delta = \frac{1}{2} \frac{{\sf G}_{n+1}}{{\sf E}_{n+1}^\prime}$ 时，多项式 $\mathsf{P}_{\mathbf{a},\delta}(d)$ 的首项系数有下界 $1/2$，确保对大 $d$ 时其正性。
• 权向量 $\mathbf{a}$ 中的最大权 $a_1$ 显式地有界于 $\frac{3^n}{2}n^2$，确保权位于 (6.1) 定义的锥内。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 中指定的立方体内存在某个整数 $\mathbf{a}$，使得 $p_{n+1,\mathbf{a}}$ 非零，从而保证多项式非平凡。
• 度数界 $d_1 = n+2 + 2\frac{{\sf E}_{n+1}^\prime}{{\sf G}_{n+1}}(n^2 + 2n)$ 确保喷射微分的消失阶条件被满足。
• 界 $d_2 = 2\max_{j} \left(2{\sf E}_j + \frac{{\sf G}_{n+1}}{{\sf E}_{n+1}^\prime} {\sf E}_j^\prime \right)^{1/(n+1-j)}$ 确保多项式 $\mathsf{P}_{\mathbf{a},\delta}(d)$ 的最大整数根有限，从而实现有效退化性。