[论文解读] A symmetric fractional-order reduction method for direct nonuniform approximations of semilinear diffusion-wave equations

Pin Lyu, Seakweng Vong|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文提出了一种对称分数阶降阶（SFOR）方法，用于在一般非均匀时间网格上构建半线性时间分数阶扩散波方程的高阶精度数值格式。通过将原问题转化为具有 $\alpha/2$ 阶分数阶导数的耦合系统，作者发展了线性化 L1 格式与 Alikhanov 格式，在弱网格和正则性假设下实现了最优的 $\mathcal{O}(\tau^2)$ 时间收敛率，通过自适应时间步长策略和数值实验得到验证。

ABSTRACT

We introduce a symmetric fractional-order reduction (SFOR) method to construct numerical algorithms on general nonuniform temporal meshes for semilinear fractional diffusion-wave equations. By using the novel order reduction method, the governing problem is transformed to an equivalent coupled system, where the explicit orders of time-fractional derivatives involved are all $α/2$ $(1

研究动机与目标

• 解决在非均匀时间网格上，对具有弱初始奇异性半线性扩散波方程实现最优收敛的挑战。
• 开发在解因初始奇异性导致低正则性时仍能保持高阶精度的鲁棒数值格式。
• 基于 L1 和 Alikhanov 格式设计一种自适应时间步长策略，以提升效率与精度。
• 在最小正则性与网格约束下，利用 $H^2$ 能量法建立严格的收敛性分析。
• 提出一种对称分数阶降阶技术，将控制方程简化为具有平衡分数阶导数的耦合系统。

提出的方法

• 提出对称分数阶降阶（SFOR）方法，将原始 $\alpha$ 阶时间分数阶扩散波方程转化为具有 $\alpha/2$ 阶导数的等价耦合系统。
• 在一般非均匀时间网格上应用线性化 L1 格式与 Alikhanov 格式，对降阶系统进行离散化。
• 利用 $H^2$ 能量法，在弱网格分级与正则性假设下推导出最优的 $\mathcal{O}(\tau^2)$ 收敛速率。
• 提出一种基于（快速）线性化 L1 与 Alikhanov 格式的自适应时间步长策略，以动态调整时间步长。
• 通过全局一致性误差估计，定义并分析 L1 与 Alikhanov 格式的时空截断误差。
• 通过涉及离散卷积核 $P_{n-j}^{(n)}$ 与 $A_{j-k}^{(j)}$ 的求和不等式，建立误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种对称分数阶降阶方法，以提高在非均匀网格上半线性扩散波方程数值格式的精度与稳定性？
• RQ2 在线性化 L1 与 Alikhanov 格式应用于此类问题时，在弱正则性与网格约束下，可实现的最优收敛率是多少？
• RQ3 如何设计一种自适应时间步长策略，以在降低计算成本的同时保持高精度？
• RQ4 截断误差估计在多大程度上依赖于网格分级参数 $\gamma$ 与解正则性参数 $\sigma_1, \sigma_2$？
• RQ5 $H^2$ 能量法能否有效应用于非均匀、非均匀分级网格下的分数阶亚扩散问题，以推导出最优收敛结果？

主要发现

• 线性化 L1 格式在 $\gamma\sigma_1 \geq 2$ 条件下实现 $\mathcal{O}(\tau^2)$ 收敛率，误差界为 $\sum_{j=1}^{n}P_{n-j}^{(n)}\|\Delta_h({\cal T}_f)^{n-\theta}\| \leq C\tau^{\min\{2\gamma\sigma_1,2\}}$。
• Alikhanov 格式在 $\gamma\sigma_1 \geq 3 - \beta$ 条件下实现 $\mathcal{O}(\tau^2)$ 收敛率，误差界为 $\sum_{j=1}^{n}P_{n-j}^{(n)}\|\Delta_h({\cal T}_u)^{j-\theta}\| \leq C\tau^{\min\{3-\beta,\gamma\sigma_1\}}$。
• 空间误差被界为 $\|{\cal S}^n\| \leq C_u h^2$，证实了二阶空间收敛性。
• 对于 L1 格式，截断误差在正则性假设 $|g''(t)| \leq C_g(1 + t^{\sigma-2})$ 下被界为 $C\tau^{\min\{2-\beta,\gamma\sigma_2\}}$。
• 对于 Alikhanov 格式，截断误差在假设 $|g^{\prime\prime\prime}(t)| \leq C_g(1 + t^{\sigma-3})$ 下被界为 $C\tau^{\min\{3-\beta,\gamma\sigma_1\}}$，并包含涉及 $\tau_1^{\sigma}$ 与 $\tau_k^3$ 的附加项。
• 基于 L1 与 Alikhanov 格式的自适应时间步长策略在数值例子中成功保持了精度与效率。