[论文解读] A Systematic Approach to Computing the Manipulator Jacobian and Hessian using the Elementary Transform Sequence

Jesse Haviland, Peter Corke|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2020

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文提出了一种直接从基本变换序列（ETS）符号表示法系统化计算机械臂雅可比矩阵和海森矩阵的方法，无需依赖戴维特-哈滕伯格（DH）参数化。通过利用ETS对串联机械臂运动学的直观、无坐标系的表示方法，该方法基于李群与李代数理论，实现了差动运动学的直接解析推导，且已提供经验证的开源Python实现，便于在机器人研究与控制系统中广泛采用。

ABSTRACT

The elementary transform sequence (ETS) provides a universal method of describing the kinematics of any serial-link manipulator. The ETS notation is intuitive and easy to understand, while avoiding the complexity and limitations of Denvit-Hartenberg frame assignment. In this paper, we describe a systematic method for computing the manipulator Jacobian and Hessian (differential kinematics) using the ETS notation. Differential kinematics have many applications including numerical inverse kinematics, resolved-rate motion control and manipulability motion control. Furthermore, we provide an open-source Python library which implements our algorithm and can be interfaced with any serial-link manipulator (available at github.com/petercorke/robotics-toolbox-python).

研究动机与目标

• 开发一种无需依赖戴维特-哈滕伯格（DH）参数化的直接、系统化方法，用于计算机械臂雅可比矩阵与海森矩阵。
• 克服DH符号表示法的局限性与复杂性，后者需要仔细的坐标系分配，且在复杂机械臂中易出错。
• 通过直观的ETS形式化方法，使差动运动学算法可普遍应用于所有串联关节机械臂。
• 提供一个稳健的开源Python库，支持基于ETS的运动学计算，并通过转换器实现与DH模型的互操作性。

提出的方法

• 使用ETS符号表示法将串联机械臂的正向运动学表示为绕x、y或z轴的旋转与平移等基本变换的乘积。
• 通过使用李代数技术（特别是se(3)中的螺旋运动表示法），对基于ETS的末端执行器位姿关于关节变量求导，推导出雅可比矩阵。
• 通过雅可比矩阵关于关节变量的导数，计算海森矩阵，利用so(3)与se(3)李代数的结构。
• 该方法使用vex算子与反对称矩阵表示，分别将角速度与线速度映射到SO(3)与SE(3)的切空间中。
• 推导基于指数映射与矩阵对数，以可微、几何一致的形式表达旋转与刚体运动。
• 实现了一个开源Python库，用于自动化计算，并包含一个DH到ETS的转换器，以支持与现有机器人模型的向后兼容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不转换为DH参数的情况下，直接从基本变换序列（ETS）系统化推导出机械臂雅可比矩阵？
• RQ2 基于ETS的运动学链中，海森矩阵的解析形式是什么？如何实现高效计算？
• RQ3 ETS形式化方法能否以与DH符号表示法相同的数学严谨性，支持所有标准差动运动学运算（雅可比矩阵、海森矩阵）？
• RQ4 在逆运动学与运动控制中，基于ETS的方法与传统DH方法相比，在精度与计算效率方面表现如何？
• RQ5 将基于ETS的差动运动学集成到通用机器人软件框架中的可行性与实用性如何？

主要发现

• 所提出的方法仅基于ETS表示，即可实现机械臂雅可比矩阵与海森矩阵的直接、系统化计算，无需进行DH转换。
• 推导基于李群与李代数理论，确保了差动运动学中几何一致性与数值鲁棒性。
• 该方法支持所有类型的关节（旋转副与移动副）及任意轴向方向，克服了DH符号表示法的限制。
• 开源Python库成功实现了该算法，并通过专用转换器支持与现有DH模型的互操作性。
• 该方法在7自由度Franka-Emika Panda机械臂上得到验证，展示了其在真实机器人系统中的正确性与实际可用性。
• 基于ETS的框架使运动学建模更加直观且不易出错，尤其适用于复杂或非标准机械臂。