[论文解读] A Szemeredi-type regularity lemma in abelian groups, with applications

Ben Green|ArXiv.org|Oct 30, 2003

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用 111

一句话总结

本文为阿贝尔群建立了类似Szemerédi的正则性引理，将经典的图正则性引理推广至加法组合数学。证明了具有少量线性方程解的集合（例如 $x+y=z$）可被分解为一个结构化部分（和自由或三角形自由）与一个可忽略的误差集合，从而得到几乎和自由集合及稠密集中等差数列的定量结构定理。

ABSTRACT

Szemeredi's regularity lemma is an important tool in graph theory which has applications throughout combinatorics. In this paper we prove an analogue of Szemeredi's regularity lemma in the context of abelian groups and use it to derive some results in additive number theory. One is a structure theorm for sets which are almost sum-free. If A is a subset of [N] which contains just o(N^2) triples (x,y,z) such that x + y = z then A may be written as the union of B and C, where B is sum-free and |C| = o(N). Another answers a question of Bergelson, Host and Kra. If alpha, epsilon > 0, if N > N_0(alpha,epsilon) and if A is a subset of {1,...,N} of size alpha N, then there is some non-zero d such that A contains at least (alpha^3 - epsilon)N three-term arithmetic progressions with common difference d.

研究动机与目标

• 将Szemerédi的图正则性引理推广至阿贝尔群，为加法数论提供一个结构性工具。
• 解决关于‘几乎’和自由集合或具有少量线性方程解的集合的刻画问题。
• 证明此类集合可被分解为一个结构化部分（和自由或三角形自由）与一个可忽略的误差集合。
• 回答Bergelson、Host和Kra提出的问题：在包含大量三项等差数列的稠密集中，是否存在公共公差。
• 建立阿贝尔群上的计数引理，类比图论中的计数引理，从而实现定量应用。

提出的方法

• 为阿贝尔群上的函数引入正则性引理，定义函数 $f: G \to [0,1]$ 相对于子群的 $\varepsilon$-正则性。
• 使用概率构造方法，在 $G = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ 上构造函数 $f$，使得任意 $\varepsilon$-正则子群的指数极大。
• 在加法设定下定义简化图与正则性条件，推广图论框架。
• 将集合 $B_i$ 构造为子群的陪集之并，利用正交向量 $\xi_v$ 控制傅里叶系数。
• 应用傅里叶分析技术，控制函数限制的傅里叶系数，确保正则性仅在子群极小时才可能成立。
• 证明阿贝尔群上计数引理的类比形式，表明正则对控制线性方程的解数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在阿贝尔群的背景下，像Szemerédi的图正则性引理一样，形式化一个正则性引理？
• RQ2 具有 $o(N^2)$ 个解的集合 $x+y=z$ 具备何种结构？能否将其分解为一个和自由集合与一个较小的误差集合？
• RQ3 对于足够大的 $N$，任意 $\{1,\dots,N\}$ 的稠密子集是否必然包含某个非零公差 $d$ 的三项等差数列？
• RQ4 阿贝尔群中的正则性引理如何控制线性方程 $a_1 + \cdots + a_k = 0$ 的解数？
• RQ5 对于给定函数在 $G = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ 上，最小的 $\varepsilon$-正则子群的大小是多少？这与函数的结构有何关联？

主要发现

• 建立了阿贝尔群上的正则性引理：任意函数 $f: G \to [0,1]$ 均可被划分为 $\varepsilon$-正则子群，且对傅里叶系数具有控制。
• 对于 $A \subseteq \{1,\dots,N\}$ 中满足 $\delta N^2$ 个解 $x+y=z$ 的集合，有 $A = B \cup C$，其中 $B$ 为和自由集合，且 $|C| = \delta' N$，当 $\delta \to 0$ 时 $\delta' \to 0$。
• 对任意 $\alpha, \epsilon > 0$，若 $N > N_0(\alpha, \epsilon)$ 且 $A \subseteq \{1,\dots,N\}$ 的大小为 $\alpha N$，则存在 $d \neq 0$，使得 $A$ 包含至少 $(\alpha^3 - \epsilon)N$ 个公差为 $d$ 的三项等差数列。
• 在大小为 $N$ 的阿贝尔群 $G$ 的 $k$ 个子集中，方程 $a_1 + \cdots + a_k = 0$ 的解数受正则性控制：若解数为 $o(N^{k-1})$，则从每个集合中移除 $o(N)$ 个元素即可消除所有解。
• 存在一个函数 $f: G \to [0,1]$，定义在 $G = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ 上，使得任意 $\varepsilon$-正则子群 $H$ 满足 $|G/H| \geq W(\frac{1}{2}\log_2(1/\varepsilon) - 5)$，表明正则子群可极小。
• 正则性引理与计数引理共同表明，阿贝尔群子集中 $o(N^2)$ 个三角形可通过删除 $o(N)$ 个元素被消除，从而得到一个三角形自由集合。