[论文解读] A theory of Miyawaki liftings: The Hilbert-Siegel case

Hiraku Atobe|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用 3

一句话总结

本文通过扩展的Ikeda提升和 seesaw 对偶性，建立了一套关于希尔伯特-西格尔模形式的Miyawaki提升的全局与局部理论。通过利用全局Gan–Gross–Prasad猜想和Arthur的重数公式，证明了在特定$L$-参数和$\varepsilon$-因子条件下Miyawaki提升非零，从而确立了局部Gan–Gross–Prasad猜想的一个新情形。

ABSTRACT

The Miyawaki liftings are defined by the pullbacks of Ikeda liftings. Recently, Ikeda and Yamana extended the theory of Ikeda liftings. In this paper, using their results, we establish a theory of Miyawaki liftings, both locally and globally. In the local theory, we describe the Miyawaki liftings for almost tempered unitary representations explicitly. In the global theory, we discuss the non-vanishing of the Miyawaki liftings using seesaw identities and the global Gan-Gross-Prasad conjecture. As an application of local Miyawaki liftings, we prove a new case of the local Gan-Gross-Prasad conjecture.

研究动机与目标

• 通过扩展的Ikeda提升，利用seesaw对偶性，在希尔伯特-西格尔情形下发展Miyawaki提升的完整局部与全局理论。
• 通过seesaw恒等式和全局Gan–Gross–Prasad猜想，解决Miyawaki提升的非零性问题。
• 通过将Miyawaki提升与$L$-参数条件及$\varepsilon$-因子关联，证明局部Gan–Gross–Prasad猜想的一个新情形。
• 从几乎温和服务单位表示的$L$-包内部结构的角度，描述Miyawaki提升的非零性。

提出的方法

• 本文利用seesaw对偶性，将Miyawaki提升与诱导表示之间$\mathrm{Hom}$-空间及theta提升的非零性联系起来。
• 通过使用退化标准系列和Weil表示，将扩展的Ikeda提升构造应用于全实数域$F$上的自守表示，以定义Miyawaki提升。
• 局部理论依赖于局部Langlands对应和Arthur的重数公式，以描述几乎温和服务单位表示的$L$-参数和$\varepsilon$-因子。
• 全局理论利用全局Gan–Gross–Prasad猜想，将Miyawaki提升的非零性与$\zeta$-函数的中心值及根数联系起来。
• 通过seesaw恒等式，将$d_{n,n,\xi}(\pi_1', \pi_2')$的非零性问题约化为$d_{r,r-1,\xi}(\pi_1, \pi_2)$的非零性问题，从而将不同层次的提升过程联系起来。
• 本文证明了当$L$-参数满足特定$\varepsilon$-因子与行列式条件时，$d_{n,n,\xi}(\pi_1', \pi_2') \neq 0$，并推广了已知情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全实域上的自守表示下，Miyawaki提升$\mathcal{M}^{(2n+r)}(g, F^{(2n+2r)})$在何种条件下非零？
• RQ2 如何利用seesaw对偶性将Miyawaki提升的非零性与局部Gan–Gross–Prasad猜想联系起来？
• RQ3 $L$-参数和$\varepsilon$-因子在决定Miyawaki提升非零性方面起什么作用？
• RQ4 Miyawaki提升的非零性能否通过几乎温和服务表示的$L$-包内部结构来刻画？
• RQ5 Miyawaki提升理论能导出局部Gan–Gross–Prasad猜想的哪些新情形？

主要发现

• 在$L$-参数与奇偶性条件满足时，本文证明了$$d_{n,n,\xi}((\mu\chi_{-1}^{n+r-1}\circ\det_{n-r})\rtimes\pi_1, (\mu\chi_{\xi}\circ\det_{n-r+1})\rtimes\pi_2) = d_{r,r-1,\xi}(\pi_1, \pi_2)$$，从而确立了局部Gan–Gross–Prasad猜想的一个新情形。
• Miyawaki提升$\mathcal{M}^{(r)}_{\psi,\tau'}(\pi_1')$的非零性等价于$d_{n,n,\xi}(\pi_1', (\mu\chi_{\xi}\circ\det_{n-r+1})\rtimes\pi_2)$的非零性，通过seesaw对偶性将提升理论与$\mathrm{Hom}$-空间联系起来。
• 本文表明，当$L$-参数满足特定$\varepsilon$-因子与行列式条件时，$d_{n,n,\xi}(\pi_1', \pi_2') \neq 0$，并推广了已知结果。
• 当$n=r$或$n=r+1$，或当$\phi_1$不包含$\mu^{\pm1}S_d$（其中$d \geq n-r$且$d \equiv n-r \pmod{2}$）时，Miyawaki提升的非零性由$\pi_1$与$\pi_2$的$L$-包结构决定。
• 该理论提供了一种利用seesaw恒等式与$L$-参数数据计算Miyawaki提升非零性的方法，其结果超出了Arthur重数公式所隐含的内容。
• 结果表明，Miyawaki提升的非零性由$\zeta$-函数的算术条件与根数决定，特别是$\varepsilon(1/2, \tau) = 1$与中心$\zeta$-值非零。