[论文解读] A theory of tensor products for vertex operator algebra satsifying C_2-cofiniteness

Masahiko Miyamoto|ArXiv.org|Sep 22, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 16

一句话总结

本文在较弱的 $C_2$-余有限条件下发展了顶点算子代数（VOA）的张量积理论，无需假设 $L(0)$-分次算子的有理性和半单性。文中引入了阿廷模——具有有限合成列的弱模——并证明此类模的范畴构成一个辫子张量范畴，从而自然地推广了黄-列波夫斯基理论。关键结果是：$C_2$-余有限性确保阿廷模的张量积仍是阿廷模，并具有自然的结合律与交换律。

ABSTRACT

We reformed the tensor product theory of vertex operator algebras developed by Huang and Lepowsky so that we could apply it to all vertex operator algebras satisfying C_2-cofiniteness. We also showed that the tensor product theory develops naturally if we include not only ordinary modules, but also weak modules with a composition series of finite length (we call it an Artin module). In particular, we don't assume the semisimplicity of the weight operator L(0). Actually, without the assumption of rationality, a C_2-cofiniteness on V is enough to obtain the existence of a tensor product of two Artin modules and natural associativity of tensor products. Namely, the category of Artin modules becomes a braided tensor category. As an application of the tensor product theory under C_2-cofiniteness, we proved the rationality of some orbifold models. For example, if a vertex operator algebra V has a finite automorphism group and the fixed point vertex operator subalgebra V^G is C_2-cofinite, then for any irreducible V^{}-module W, there is an element h\in such that W is contained in some h-twisted V-module. Furthermore, if V^G is rational, then V^{} is also rational for any g\in G.

研究动机与目标

• 将黄-列波夫斯基张量积理论推广至顶点算子代数，突破有理性和 $L(0)$-半单性的严格假设。
• 证明仅凭 $C_2$-余有限性即可确保更广类模的张量积存在且具自然性。
• 引入并证明阿廷模——具有有限合成列的弱模——作为张量范畴中自然对象的合理性。
• 将所发展的理论应用于对称化 VOA，特别是固定点子代数，证明有理性和模包含结果。
• 为 $C_2$-余有限性下的对称化模型表示理论提供框架，避免事先假设完全可约性。

提出的方法

• 将阿廷模定义为具有有限合成列的弱 $V$-模，推广普通模的概念。
• 利用 intertwining 算子与 $C_2$-余有限性条件，构造阿廷模 $W_1, W_2$ 的 $\lambda$-扭张量积 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$。
• 证明张量积 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$ 本身仍是阿廷模，确保张量运算下模类别的封闭性。
• 利用 $P(\lambda)$-张量积的普遍性质，建立张量积的交换律与结合律的自然同构。
• 将 $L(0)$-根 $J_{L(0)}(W_1 \boxtimes_\lambda W_2)$ 与普通 $P(\lambda)$-张量积关联，将新构造与经典理论联系起来。
• 通过分析 $G$-扭模并利用 $V$ 与 $V^G$ 的 $G$-不变结构，将理论应用于对称化 VOA，借助 $C_2$-余有限性推导出 $V^{\langle g \rangle}$ 的有理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设有理性和 $L(0)$-半单性的情况下，基于 $C_2$-余有限性发展顶点算子代数的张量积理论？
• RQ2 阿廷模——具有有限合成列的弱模——在张量积下是否构成封闭且行为良好的范畴？
• RQ3 两个阿廷模的张量积是否仍是阿廷模，且是否满足自然的结合律与交换律同构？
• RQ4 $C_2$-余有限性是否蕴含固定点子代数 $V^G$ 的有理性，从而推出 $V^{\langle g \rangle}$ 的有理性（$g \in G$）？
• RQ5 当 $V^G$ 为 $C_2$-余有限时，每个不可约 $V^{\langle g \rangle}$-模是否可实现为某个 $h$-扭 $V$-模的子模（$h \in \langle g \rangle$）？

主要发现

• 对任意 $C_2$-余有限顶点算子代数 $V$，两个阿廷 $V$-模 $W_1$ 与 $W_2$ 的张量积 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$ 存在，且在同构意义下唯一。
• 张量积 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$ 本身是阿廷模，确保该范畴在张量积下封闭。
• 阿锡 $V$-模的范畴具有自然的交换律与结合律同构，因此构成一个辫子张量范畴。
• 商模 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2 / J_{L(0)}(W_1 \boxtimes_\lambda W_2)$ 同构于 $P(\lambda)$-张量积，将新理论与经典的黄-列波夫斯基结果联系起来。
• 若 $V^G$ 为 $C_2$-余有限且有理，则对所有 $g \in G$，有 $V^{\langle g \rangle}$ 为有理，且每个不可约 $V^{\langle g \rangle}$-模均包含于某个 $h$-扭 $V$-模（$h \in \langle g \rangle$）中。
• 当 $V_{\mathbb{Z}a}^+$ 为有理时，对格 VOA $V_L$ 的对称化模型 $(V_L)^+$ 为有理，此结论通过 $V^G$ 的 $C_2$-余有限性得以证明。