[论文解读] A theory of turbulence based on scale relativity

Louis de Montera|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于尺度相对论的湍流理论，其中流体动力学被重新表述为非可微、分形的速度空间。通过放松可微性假设，该理论推导出一个包含分形与非分形分量的速度方程，表明分形部分与湍流的Kolmogorov定律相符，并预测了与实验一致的能量耗散率，其转变点出现在雷诺数 ≈ 1。

ABSTRACT

The internal interactions of fluids occur at all scales therefore the resulting force fields have no reason to be smooth and differentiable. The release of the differentiability hypothesis has important mathematical consequences, like scale dependence and the use of a higher algebra. The law of mechanics transfers directly these properties to the velocity of fluid particles whose trajectories in velocity space become fractal and non-deterministic. The principle of relativity is used to find the form of the equation governing velocity in scale space. The solution of this equation contains a fractal and a non-fractal term. The fractal part is shown to be equivalent to the Lagrangian version of the Kolmogorov law of fully-developed and isotropic turbulence. It is therefore associated with turbulence, whereas the non-fractal deterministic term is associated with a laminar behavior. These terms are found to be balanced when the typical velocity reaches a level at which the Reynolds number is equal to one, in agreement with the empirical observations. The rate of energy dissipated by turbulence in a flow passing an obstacle that was only known from experiments can be derived theoretically from the equation's solution. Finally, a quantum-like equation in velocity space is proposed in order to find the probability of having a given velocity at a given location. It may eventually explain the presence of large scale coherent structures in geophysical turbulent flows, like jet-streams.

研究动机与目标

• 开发一种湍流的理论框架，通过放松流体动力学中的可微性假设，以解释多尺度相互作用。
• 解释湍流行为的出现是速度空间中不可微、分形轨迹的后果。
• 利用尺度相对论原理，从第一性原理推导Kolmogorov标度定律。
• 将层流与湍流之间的转变点确定为雷诺数达到1时。
• 在速度空间中提出一个类量子方程，以模拟速度概率分布，可能解释大地形流中大尺度相干结构的形成。

提出的方法

• 该理论在尺度相对论框架下应用相对性原理，使速度空间成为一个不可微、分形的流形。
• 在尺度空间中推导出一个新的运动方程，包含尺度依赖效应和更高阶代数结构。
• 该方程的解包含两项：分形分量和非分形的确定性分量。
• 分形项被解析证明可重现Kolmogorov 1941年湍流定律的拉格朗日形式。
• 分形与非分形项之间的平衡由雷诺数决定，转变点出现在Re ≈ 1。
• 在速度空间中引入一个类量子方程，用于描述速度的概率分布，类似于薛定谔方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能从一个放松流体轨迹可微性的基本原理出发，推导出湍流？
• RQ2 速度空间的分形结构是否自然导致充分发展湍流的Kolmogorov标度定律？
• RQ3 在此框架下，层流向湍流转变的雷诺数临界点是多少？
• RQ4 能否从尺度相对论方程中理论上推导出湍流中能量耗散的速率？
• RQ5 速度空间中的速度概率分布是否能解释大尺度相干结构（如急流）的形成？

主要发现

• 速度解的分形分量与Kolmogorov 1941年湍流定律的拉格朗日形式完全一致，证实其在湍流中的物理相关性。
• 非分形分量对应于层流、确定性的流体行为，为两种流态提供了统一描述。
• 当雷诺数达到1时，分形与非分形项之间的平衡恰好发生，与实验观测一致。
• 理论推导得出的湍流流过障碍物时的能量耗散率与实验值相符。
• 在速度空间中提出一个类量子方程，为大地形湍流中大尺度相干结构的出现提供了潜在解释。