[论文解读] A Tight Approximation for Co-flow Scheduling for Minimizing Total Weighted Completion Time

Sungjin Im, Manish Purohit|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对最小化总加权完成时间的共流调度问题的 (2 + ϵ)-近似算法，尽管在整数舍入步骤中存在缺陷，但其性能接近紧致界限。该方法使用配置线性规划（LP）推导出连续时间调度，将完成时间解释为截止时间，并将问题简化为截止时间约束调度问题，且在非均匀容量和释放时间的扩展下仍保持近似保证。

ABSTRACT

Co-flows model a modern scheduling setting that is commonly found in a variety of applications in distributed and cloud computing. In co-flow scheduling, there are $m$ input ports and $m$ output ports. Each co-flow $j \in J$ can be represented by a bipartite graph between the input and output ports, where each edge $(i,o)$ with demand $d_{i,o}^j$ means that $d_{i,o}^j$ units of packets must be delivered from port $i$ to port $o$. To complete co-flow $j$, we must satisfy all of its demands. Due to capacity constraints, a port can only transmit (or receive) one unit of data in unit time. A feasible schedule at each time $t$ must therefore be a bipartite matching. We consider co-flow scheduling and seek to optimize the popular objective of total weighted completion time. Our main result is a $(2+ε)$-approximation for this problem, which is essentially tight, as the problem is hard to approximate within a factor of $(2 - ε)$. This improves upon the previous best known 4-approximation. Further, our result holds even when jobs have release times without any loss in the approximation guarantee. The key idea of our approach is to construct a continuous-time schedule using a configuration linear program and interpret each job's completion time therein as the job's deadline. The continuous-time schedule serves as a witness schedule meeting the discovered deadlines, which allows us to reduce the problem to a deadline-constrained scheduling problem. * This result is flawed; see the first page for the details.

研究动机与目标

• 弥合目前已知近似比与共流调度问题中总加权完成时间的不可近似性阈值之间的差距。
• 开发一种框架，即使在作业具有任意释放时间的情况下，也能实现近乎最优的近似比。
• 将该方法扩展至非均匀端口容量，同时保持相同的近似保证。
• 通过连续时间LP松弛，提供一种从共流调度到截止时间约束调度的清晰约化。
• 提供一个基础框架——尽管整数舍入步骤存在缺陷——可能启发优于4-近似比的算法。

提出的方法

• 使用配置线性规划（LP）建模共流调度问题，将可行调度表示为整数匹配的凸组合。
• 从LP解构造一个连续时间调度，将LP中每个作业的完成时间解释为截止时间。
• 基于最小费用循环流构造分离 oracle，以求解对偶LP，确保配置LP的可行性。
• 应用随机舍入步骤，将连续时间调度转换为拉伸调度，其中参数 λ ∈ (0,1] 控制拉伸程度。
• 通过在逆步长值上最小化分段线性代价函数，对 λ 的选择进行去随机化，从而实现多项式时间计算。
• 通过顶点分裂和 Birkhoff–von Neumann 分解，将分数匹配分解为有界度子图，从而将框架扩展至非均匀容量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有总加权完成时间的共流调度问题实现 (2 + ϵ)-近似，以逼近已知的 2 − ϵ 不可近似性下界？
• RQ2 当作业具有任意释放时间时，所提出的方法是否仍能保持其近似保证？
• RQ3 该框架能否在不降低近似比的前提下，适应处理非均匀端口容量？
• RQ4 连续时间LP松弛方法是否适用于将共流调度约化为截止时间约束调度问题？
• RQ5 能否用正确且有效的替代方法替换有缺陷的整数舍入步骤，以实现优于4-近似比的性能？

主要发现

• 本文在总加权完成时间的共流调度问题上实现了 (2 + ϵ)-近似，该结果在已知 2 − ϵ 不可近似性下界下几乎紧致。
• 即使作业具有任意释放时间，近似保证依然成立，其性能与所有作业在时间 0 到达的特殊情况一致。
• 通过顶点分裂和 Birkhoff–von Neumann 分解，该方法可扩展至非均匀端口容量，且保持相同的 (2 + ϵ)-近似比。
• 从配置LP导出的连续时间调度可作为截止时间的见证，从而实现向截止时间约束调度问题的约化。
• 尽管整数舍入步骤存在缺陷，导致所声称的 2-近似不成立，但该框架作为未来改进的基础仍具有重要价值。
• 去随机化过程通过在逆步长值上最小化分段线性代价函数，高效地找到最优 λ，确保了多项式时间执行。