[论文解读] A Topological Oracle Model for Proving P ≠ NP

Lov K. Grover|ArXiv.org|May 29, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用 45

一句话总结

该论文提出了一种量子搜索算法，通过相位翻转和沃尔什-哈达玛变换实现量子振幅放大，在大小为 N 的未排序数据库中以 O(√N) 次查询找到目标项。该算法在一般条件下相对于经典算法实现了二次加速，并且被证明在常数因子范围内最优，确立了量子搜索的根本极限。

ABSTRACT

Imagine a phone directory containing N names arranged in completely random order. In order to find someone's phone number with a 50% probability, any classical algorithm (whether deterministic or probabilistic) will need to look at a minimum of N/2 names. Quantum mechanical systems can be in a superposition of states and simultaneously examine multiple names. By properly adjusting the phases of various operations, successful computations reinforce each other while others interfere randomly. As a result, the desired phone number can be obtained in only O(sqrt(N)) steps. The algorithm is within a small constant factor of the fastest possible quantum mechanical algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种高效的量子算法，用于在无先验结构信息的未排序数据库中进行搜索。
• 证明对于非结构化问题，该算法相对于经典搜索算法具有二次加速。
• 通过证明查询复杂度的匹配下界，确立所提算法的最优性。
• 提供一种仅使用基本量子操作（如哈达玛变换和相位移位）的实用且可实现的量子算法。

提出的方法

• 利用量子叠加同时检查数据库中的所有 N 个条目。
• 应用沃尔什-哈达玛变换，在所有基态上创建相等的叠加态。
• 采用相位翻转操作，翻转目标项（即目标条目）的振幅。
• 通过组合相位翻转与干涉效应，迭代地应用振幅放大，以提高测量到目标状态的概率。
• 使用受控相位移操作，基于量子预言机选择性地翻转目标状态的振幅。
• 通过幺正演化实现干涉，放大正确解的振幅，同时抑制其他状态的振幅。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于未排序数据库的搜索问题，量子算法能否相对于经典算法实现显著加速？
• RQ2 在量子力学框架下，使用量子方法查找未排序数据库中的目标项，最少需要多少次查询？
• RQ3 所提算法在查询复杂度方面是否最优，还是可能存在更快的量子算法？
• RQ4 如何利用量子干涉和振幅放大，在不了解数据结构的前提下解决搜索问题？

主要发现

• 该算法在 O(√N) 次查询内找到目标项，相对于需要 O(N) 次查询的经典算法实现了二次加速。
• 该算法在常数因子范围内最优，其下界为 Ω(√N) 次查询，已在 [BBBV96] 中得到证明。
• 该算法通过量子振幅的建设性干涉和错误状态的破坏性干涉实现加速。
• 该方法仅依赖于两种基本量子操作——沃尔什-哈达玛变换和条件相位移，因此具有实验可行性。
• 当存在多个解时，该算法依然有效，并可通过重复运行检测任意解的存在。
• 该方法对诸如简并解的扰动或使用无相互作用测量原理等修改具有鲁棒性，表明其具有更广泛的应用潜力。