[论文解读] A Tour on Ecumenical Systems (Invited Talk)

Elaine Pimentel, Luiz Carlos Pereira|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Philosophy and Theoretical Science被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新颖的基扩展语义（Be-S），用于统一古典与直觉主义证明论语义的共融系统，通过将荒谬常量 ⊥ 视为一个原子命题并强制所有基的一致性，实现了古典与直觉主义证明论语义的协调统一。通过区分经典与直觉主义证明的归约技术，建立了自然演绎系统的可靠性和完备性，表明经典推理仅在经典原子的完备性证明中需要，从而在形式上分离了两种证明概念与技术基础。

ABSTRACT

Debates concerning philosophical grounds for the validity of classical and intuitionistic logics often have the very nature of logical proofs as one of the main points of controversy. The intuitionist advocates for a strict notion of constructive proof, while the classical logician advocates for a notion which allows non-construtive proofs through reductio ad absurdum. A great deal of controversy still subsists to this day on the matter, as there is no agreement between disputants on the precise standing of non-constructive methods. Two very distinct approaches to logic are currently providing interesting contributions to this debate. The first, oftentimes called logical ecumenism, aims to provide a unified framework in which two "rival" logics may peacefully coexist, thus providing some sort of neutral ground for the contestants. The second, proof-theoretic semantics, aims not only to elucidate the meaning of a logical proof, but also to provide means for its use as a basic concept of semantic analysis. Logical ecumenism thus provides a medium in which meaningful interactions may occur between classical and intuitionistic logic, whilst proof-theoretic semantics provides a way of clarifying what is at stake when one accepts or denies reductio ad absurdum as a meaningful proof method. In this paper we show how to coherently combine both approaches by providing not only a medium in which classical and intuitionistic logics may coexist, but also one in which classical and intuitionistic notions of proof may coexist.

研究动机与目标

• 开发一种基扩展语义（Be-S），在统一的共融框架中协调古典与直觉主义证明论语义。
• 通过将 ⊥ 视为原子命题并要求所有基保持一致，为荒谬常量 ⊥ 提供概念上恰当且技术上可靠的语义。
• 证明经典推理仅在经典原子的完备性证明中需要，从而区分古典与直觉主义证明的概念基础。
• 通过引入强大的 Be-S 框架，将证明论语义扩展至直觉主义逻辑之外，支持共融自然演绎。
• 通过共融系统中局部与全局有效性的视角，探讨直觉主义与古典逻辑之间的语义与证明论差异。

提出的方法

• 提出将 ⊥ 视为原子命题的新处理方式，要求所有证明基保持一致，从而实现古典与直觉主义证明在形式上的共存。
• 定义两种基扩展语义版本：一种为理解双重否定与可证性差异的弱版本，另一种为实现完整共融推理的强版本。
• 构建一个自然演绎系统，使经典与直觉主义联结词共存，各自拥有独立的推理规则，并在强 Be-S 框架下证明其可靠性和完备性。
• 使用归约技术证明模拟基的一致性，确保经典系统中的推导不会在无有效依据的情况下导出 ⊥。
• 通过将原子规则结论替换为其命题对应物，实现从经典推导到直觉主义推导的转换，保持系统间的可导性。
• 借助 Prawitz 的推理主义框架，定义直觉主义逻辑中经典联结词的断言条件，实现对被拒绝算子的重新解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一框架内协调统一古典与直觉主义证明论语义？
• RQ2 荒谬常量 ⊥ 在统一的证明论语义中扮演何种角色，应如何形式化处理？
• RQ3 基扩展语义能否在不坍缩其各自证明论意义的前提下，同时支持直觉主义与古典推理？
• RQ4 经典推理在完备性证明中在多大程度上是必要的？古典与直觉主义证明之间的区别能否在形式上被隔离？
• RQ5 Be-S 中的局部与全局有效性如何促进共融系统的语义分析？它们提供了哪些新见解？

主要发现

• 本文通过强基扩展语义区分经典与直觉主义证明，建立了一个可靠且完备的共融自然演绎系统。
• 通过将 ⊥ 视为原子命题并要求所有基保持一致，该框架在古典与直觉主义语境下均提供了技术稳健且概念恰当的荒谬语义。
• 经典原子的完备性证明依赖经典推理，而证明的其余部分均为构造性，表明古典与直觉主义证明之间的区别在形式与概念上均具有坚实基础。
• 归约技术成功应用于证明模拟基的一致性，确保添加经典规则后不会产生不一致的推导。
• 通过将原子规则结论替换为其命题对应物，实现从经典到直觉主义推导的转换，保持可导性，并支持共融系统的可靠性。
• 该框架为语义蕴含提供了新视角，揭示了传统模型论分析中不明显的性质，尤其体现在局部与全局有效性的相互作用中。