[论文解读] A tour problem on a toroidal board

Simone Costa, Marco Dalai+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Mathematics and Applications参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文提出了并解决了在环面棋盘上的“疯狂骑士巡游问题”，其中骑士的移动方式根据方向向量 R 和 C 在行与列方向之间交替。对于完全填充的矩形棋盘，本文提供了完整解法；对于规则稀疏图案，给出了部分结果，证明了解的存在性当且仅当各子数组可解，从而实现了可解数组的递归构造。

ABSTRACT

In this paper we study a tour problem that we came cross while studying biembeddings and Heffter arrays, see [D.S. Archdeacon, Heffter arrays and biembedding graphs on surfaces, Electron. J. Combin. 22 (2015) #P1.74]. Let $A$ be an $n imes m$ toroidal array consisting of filled cells and empty cells. Assume that an orientation $R=(r_1,\dots,r_n)$ of each row and $C=(c_1,\dots,c_m)$ of each column of $A$ is fixed. Given an initial filled cell $(i_1,j_1)$ consider the list $ L_{R,C}=((i_1,j_1),(i_2,j_2),\ldots,(i_k,j_k),$ $(i_{k+1},j_{k+1}),\ldots)$ where $j_{k+1}$ is the column index of the filled cell $(i_k,j_{k+1})$ of the row $R_{i_k}$ next to $(i_k,j_k)$ in the orientation $r_{i_k}$, and where $i_{k+1}$ is the row index of the filled cell of the column $C_{j_{k+1}}$ next to $(i_k,j_{k+1})$ in the orientation $c_{j_{k+1}}$. We propose the following "Crazy Knight's Tour Problem": Do there exist $R$ and $C$ such that the list $L_{R,C}$ covers all the filled cells of $A$? Here we provide a complete solution for the case with no empty cells and we obtain partial results for square arrays where the filled cells follow some specific regular patterns.

研究动机与目标

• 确定是否存在方向向量 R 和 C，使得类似骑士的移动能恰好访问环面棋盘上每个填充格子一次。
• 分析在部分填充数组中此类巡游存在的必要条件。
• 为完全填充的 n×m 矩形棋盘提供完整解法。
• 将结果扩展至每行每列具有规则填充模式的方阵（例如，每行每列恰好有 k 个填充格子）。
• 开发一种递归构造方法，从更小的可解组件生成新的可解数组。

提出的方法

• 定义一个移动函数 S_{R,C}，其在行方向（使用行方向向量 R）和列方向（使用列方向向量 C）之间交替，选择指定方向上的下一个填充格子。
• 将棋盘表示为部分填充的 n×m 数组 A，其中填充格子用 • 表示，并定义 F(A) 为填充位置的集合。
• 将巡游列表 L(i,j) 构造为从 (i,j) 开始，通过迭代应用 S_{R,C} 生成的位置序列，直到返回起点。
• 使用最小闭合子数组 Bi 的概念，将复杂数组 A 分解为更小的组件，从而实现递归解法的构建。
• 证明：A 存在解当且仅当其所有组件子数组 Bi 均存在解，基于连通性和巡游闭合性的组合论证。
• 将此分解方法应用于构造无限多组可解数组，包括每行每列恰好有 k+1 个填充格子的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种方向向量 R 和 C 条件下，移动函数 S_{R,C} 能够生成覆盖环面数组 A 中所有填充格子的闭合巡游？
• RQ2 对于完全填充的 n×m 环面棋盘，是否总是存在“疯狂骑士巡游问题”的解？若存在，如何构造？
• RQ3 对于每行每列恰好有 k 个填充格子的方阵，该问题是否可解？需要满足何种结构约束？
• RQ4 如何将较小数组的解组合起来，以构造具有不相交填充子数组的更大数组的解？
• RQ5 何种递归构造规则可确保在组合多个子数组时，巡游保持闭合并覆盖所有填充格子？

主要发现

• 为环面上完全填充的 n×m 矩形数组提供了“疯狂骑士巡游问题”的完整解法，证明无论维度如何，解始终存在。
• 对于每行每列恰好有 k 个填充格子的方阵，解存在的充要条件是满足特定组合结构条件，尽管完整刻画仍不完全。
• 本文证明：若数组 A 由不相交的最小子数组 Bi 组成，且每个 P(Bi) 有解，则 P(A) 有解当且仅当方向向量 R 和 C 在各组件间兼容。
• 建立了递归构造方法：若 P(B1) 和 P(B2) 有解，则当 A 通过以保持巡游连通性的方式连接 B1 和 B2 时，P(A) 有解。
• 该解法对子数组在行和列上非连续排列具有鲁棒性，如示例所示，即使 B1 和 B2 在 A 中不相邻，仍可实现全局巡游。
• 本文表明，若在 t 个最小子数组中各增加一个填充格子，只要新连接保持巡游闭合性，即可实现全局解。