[论文解读] A two-phase method for control constrained elliptic optimal control problem

Xiaoliang Song, Yu Bo|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种两阶段算法，用于使用有限元离散化求解控制约束的椭圆最优控制问题。第一阶段采用一种不精确加权交替方向乘子法（iwADMM）生成一个热启动，第二阶段应用原始-对偶活动集方法以实现超线性收敛；该框架确保了全局收敛性和非遍历迭代复杂度，数值结果验证了其精度与效率。

ABSTRACT

We in this paper consider linear-quadratic elliptic control problems with pointwise box constraints on the control. Since solving the solutions of such PDE-constrained optimization problems are usually a major computation task, thus applying semismooth Newton methods used to be a priority in consideration of their locally superlinear convergence. However, solving the Newton equation is expensive, especially when the discretization is in a fine level. Motivated by the success of applying alternating direction method of multipliers (ADMM) for solving large scale convex minimization problem in finite dimension, it is reasonable to combine semismooth Newton methods with ADMM to solve optimal control problems. To numerically solve elliptic optimal control problems, the finite element (FE) method is used for discretizing the problem. Then, a two-phase method is proposed for the discretized problem. In Phase-I, based on a weighted-augmented Lagrangian function, an inexact weighted-ADMM (iwADMM) algorithm is developed to get a reasonably good initial point to be a warm-start of Phase-II. In Phase-II, a special semismooth Newton method named primal-dual active set (PDAS) is used to efficiently obtain accurate solutions. Furthermore, theoretical results on the global convergence as well as the iteration complexity results in non-ergodic sense of iwADMM are given under suitable conditions. The efficiency of our proposed algorithm is verified by two numerical experiments. The numerical results not only confirm the error estimates for FE but also show that our two-phase framework is efficient for obtaining accurate solutions.

研究动机与目标

• 为解决具有点状框约束的大规模控制约束椭圆最优控制问题的计算挑战。
• 通过结合ADMM的全局收敛性与半光滑牛顿方法的快速局部收敛性，提升计算效率。
• 开发一种两阶段策略，利用第一阶段获得的良好初始猜测来加速第二阶段的收敛速度。
• 在非遍历意义下，为不精确加权ADMM（iwADMM）建立理论收敛性与迭代复杂度结果。
• 通过有限元离散化问题上的数值实验，验证该方法的精度与效率。

提出的方法

• 使用有限元方法（FEM）将连续的椭圆最优控制问题离散化为大规模的有限维优化问题。
• 在第一阶段，引入一种不精确加权增广拉格朗日函数，以设计一种不精确加权ADMM（iwADMM）算法，用于获得高质量的初始点。
• iwADMM算法旨在平衡精度与计算成本，实现具有全局收敛性保证的高效迭代。
• 在第二阶段，将原始-对偶活动集（PDAS）方法应用于离散化问题，以实现向精确解的局部超线性收敛。
• 该两阶段框架将第一阶段的输出作为第二阶段的热启动，显著减少了所需的牛顿迭代次数。
• 理论分析在适当条件下建立了iwADMM的全局收敛性与非遍历迭代复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 不精确加权ADMM（iwADMM）能否有效用于生成控制约束椭圆最优控制问题的热启动？
• RQ2 将ADMM与半光滑牛顿方法结合，是否能提升求解大规模PDE约束优化问题的效率与鲁棒性？
• RQ3 所提出的iwADMM算法具有怎样的全局收敛性与非遍历迭代复杂度特性？
• RQ4 与标准方法相比，该两阶段框架在精度与计算成本方面表现如何？
• RQ5 在所提出的框架中，有限元离散化误差在多大程度上符合理论预测？

主要发现

• 所提出的两阶段方法通过结合iwADMM的全局收敛性与第二阶段PDAS方法的超线性收敛性，实现了高精度。
• 数值实验验证了有限元离散化理论误差估计，证实了底层FEM的收敛阶数。
• 第一阶段采用iwADMM提供了可靠且计算高效的热启动，显著减少了第二阶段的牛顿迭代次数。
• 理论分析在合理假设下确认了iwADMM算法的全局收敛性与非遍历迭代复杂度。
• 与标准方法相比，该框架在求解大规模控制约束椭圆最优控制问题方面表现出更优的效率。
• 数值结果表明，该两阶段方法具有良好的鲁棒性与可扩展性，尤其在精细离散化下表现更优，此时牛顿求解通常代价高昂。