[论文解读] A unified approach to Fiedler-like pencils via strong block minimal bases pencils

Maribel Bueno Cachadina, Froilán M. Dopico+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 33被引用 10

一句话总结

本文通过将Fiedler-like pencils（用于求解矩阵多项式特征值问题）嵌入强块极小基 pencil 框架中，实现了对它们的统一。引入了扩展块Kronecker pencil，证明了除非适当广义Fiedler pencil外的所有Fiedler-like pencil均与这些pencil在行与列置换下等价，从而简化了理论，并为未来的后向误差与条件分析奠定了基础。

ABSTRACT

The standard way of solving the polynomial eigenvalue problem associated with a matrix polynomial is to embed the matrix polynomial into a matrix pencil, transforming the problem into an equivalent generalized eigenvalue problem. Such pencils are known as linearizations. Many of the families of linearizations for matrix polynomials available in the literature are extensions of the so-called family of Fiedler pencils. These families are known as generalized Fiedler pencils, Fiedler pencils with repetition and generalized Fiedler pencils with repetition, or Fiedler-like pencils for simplicity. The goal of this work is to unify the Fiedler-like pencils approach with the more recent one based on strong block minimal bases pencils introduced in \cite{canonical}. To this end, we introduce a family of pencils that we have named extended block Kronecker pencils, whose members are, under some generic nonsingularity conditions, strong block minimal bases pencils, and show that, with the exception of the non proper generalized Fiedler pencils, all Fiedler-like pencils belong to this family modulo permutations. As a consequence of this result, we obtain a much simpler theory for Fiedler-like pencils than the one available so far. Moreover, we expect this unification to allow for further developments in the theory of Fiedler-like pencils such as global or local backward error analyses and eigenvalue conditioning analyses of polynomial eigenvalue problems solved via Fiedler-like linearizations.

研究动机与目标

• 将Fiedler、广义Fiedler、带重复的Fiedler以及带重复的广义Fiedler等多样化的Fiedler-like pencil家族统一到一个统一的理论框架下。
• 弥合Fiedler-like pencil与更近期的强块极小基pencil（特别是块Kronecker pencil）之间的差距。
• 引入一类广义pencil家族，称为扩展块Kronecker pencil，以捕捉Fiedler-like pencil的本质结构。
• 建立在一般非奇异条件下，Fiedler-like pencil通过置换后为原矩阵多项式的强线性化与极小基pencil的理论。
• 为未来基于Fiedler-like线性化求解多项式特征值问题的后向误差与特征值条件分析奠定基础。

提出的方法

• 将扩展块Kronecker pencil家族作为块Kronecker pencil的推广引入，通过结构化块矩阵与初等矩阵运算定义。
• 利用置换等价性，证明Fiedler-like pencil可通过置换转化为扩展块Kronecker pencil，同时保持其结构与数值性质。
• 应用强块极小基pencil理论，证明在一般非奇异条件下，扩展块Kronecker pencil为强线性化。
• 通过涉及初等矩阵的因子分解表征Fiedler-like pencil的结构，从而实现对其性质的系统性分析。
• 利用块结构与极小基的对偶性，建立Fiedler-like pencil为强线性化并保持极小指标的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有Fiedler-like pencil是否都能嵌入强块极小基框架中？若能，其条件是什么？
• RQ2 Fiedler-like pencil与扩展块Kronecker pencil家族之间的关系是什么，特别是在置换等价性方面？
• RQ3 在一般非奇异条件下，Fiedler-like pencil是否保持原矩阵多项式的极小基与极小指标结构？
• RQ4 扩展块Kronecker pencil家族如何在保留理想数值性质的同时推广块Kronecker pencil家族？
• RQ5 这一统一对多项式特征值问题的后向误差与条件分析有何影响？

主要发现

• 除非适当广义Fiedler pencil外，所有Fiedler-like pencil均与扩展块Kronecker pencil在行与列置换下等价。
• 在首项与末项系数满足一般非奇异条件时，Fiedler-like pencil是原矩阵多项式的强线性化。
• 扩展块Kronecker pencil家族推广了块Kronecker pencil家族，并包含了除非适当广义Fiedler pencil外的所有Fiedler-like pencil。
• 在相同一般非奇异条件下，Fiedler-like pencil为极小基pencil（经置换后）。
• 该统一简化了Fiedler-like pencil的理论分析，并为未来后向误差与条件分析提供了统一框架。