[论文解读] A Unified Approach to Systemic Risk Measures via Acceptance Sets

Francesca Biagini, Jean‐Pierre Fouque+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出了一种使用多维接受集和聚合函数的系统性风险度量统一框架，支持在聚合前或聚合后进行灵活的资本配置。通过拉格朗日优化推导出最优系统性风险度量和与情景相关的分配方案，关键结果表明在特定条件下具备凸性和拟凸性。

ABSTRACT

The financial crisis has dramatically demonstrated that the traditional approach to apply univariate monetary risk measures to single institutions does not capture sufficiently the perilous systemic risk that is generated by the interconnectedness of the system entities and the corresponding contagion effects. This has brought awareness of the urgent need for novel approaches that capture systemic riskiness. The purpose of this paper is to specify a general methodological framework that is flexible enough to cover a wide range of possibilities to design systemic risk measures via multi-dimensional acceptance sets and aggregation functions, and to study corresponding examples. Existing systemic risk measures can usually be interpreted as the minimal capital needed to secure the system after aggregating individual risks. In contrast, our approach also includes systemic risk measures that can be interpreted as the minimal capital funds that secure the aggregated system by allocating capital to the single institutions before aggregating the individual risks. This allows for a possible ranking of the institutions in terms of systemic riskiness measured by the optimal allocations. Moreover, we also allow for the possibility of allocating the funds according to the future state of the system (random allocation). We provide conditions which ensure monotonicity, convexity, or quasi-convexity properties of our systemic risk measures.

研究动机与目标

• 解决单变量风险度量在捕捉金融机构相互关联性和传染效应方面存在的局限性。
• 构建一个通用的方法论框架，通过接受集和聚合函数容纳多样的系统性风险度量。
• 实现聚合前和聚合后的资本配置，支持按系统性风险贡献对机构进行排序。
• 引入情景依赖的资本配置，以反映金融系统中特定状态下的风险暴露。
• 确立确保系统性风险度量具备单调性、凸性和拟凸性等理想性质的条件。

提出的方法

• 通过随机向量 $\mathbf{X} = (X^1, \ldots, X^N)$ 建模金融系统，表示 $N$ 家机构的未来损益。
• 使用多维接受集和聚合函数定义系统性风险度量，以评估系统层面的风险。
• 通过拉格朗日乘子构建优化问题，以最小化所需资本 $c$，同时确保聚合头寸满足风险接受标准。
• 通过拉格朗日函数的一阶条件，推导出对各机构的最优分配 $y^k_j$ 和总资本 $c$。
• 利用拉格朗日函数 $\phi(c, y^k_j, \lambda)$ 求解在给定风险阈值 $\gamma$ 下的最优资本和分配策略。
• 通过求解偏导数导出的方程组，以闭式表达系统性风险度量 $\rho(\mathbf{X}) = c^*$ 和最优分配。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一种系统性风险度量方法，以考虑机构间的依赖关系和传染效应？
• RQ2 聚合前资本配置在系统性风险评估中扮演什么角色？它与聚合后度量有何不同？
• RQ3 通过接受集推导出的系统性风险度量在何种条件下表现出单调性、凸性或拟凸性？
• RQ4 如何通过情景依赖的资本配置提高系统性风险度量的准确性和灵敏度？
• RQ5 在基于指数效用的接受标准下，最优资本要求和分配策略的解析形式是什么？

主要发现

• 系统性风险度量 $\rho(\mathbf{X}) = c^*$ 以闭式表达为 $c^* = -\beta_N \log\left[\frac{\gamma}{\alpha_1 \beta_N d_N}\right]$，其中 $\beta_N = \sum_{k=1}^N \frac{1}{\alpha_k}$ 且 $d_N$ 为聚合头寸的场景加权指数函数。
• 在情景 $j$ 下对机构 $k$ 的最优分配 $y^k_j$ 明确给出，其公式涉及 $\alpha_k$、$X^k(\omega_j)$ 以及风险参数的对数项。
• 最优分配确保在接受集标准下聚合系统的风险得到保障，资本分配方式同时反映风险和情景依赖性。
• 拉格朗日方法产生一致的方程组，保证解满足风险约束 $\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^N \exp(-\alpha_i(X^i + Y^i))\right] = \gamma$。
• 在风险参数和接受集结构满足适当条件时，该方法确保系统性风险度量的凸性。
• 该框架可通过最优分配策略对机构按其系统性风险贡献进行排序，从而支持有针对性的监管干预。