[论文解读] A unified framework of SAGE and SONC polynomials and its duality theory

Lukas Katthän, Helen Naumann+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Mathematical functions and polynomials被引用 1

一句话总结

本文提出了 S-锥（S-cone），这是一个统一框架，将 SAGE 和 SONC 多项式广义化，为稀疏多项式优化中的非负性证书提供了共同结构。该研究建立了对偶锥的无投影表征，从而实现了对极射线的新精确描述、单变量非负多项式逼近结果，以及对 SONC 情形下类似 Putinar 的 Positivstellensatz 的否定回答（即使在单变量情形下亦不成立）。

ABSTRACT

We introduce and study a cone which consists of a class of generalized polynomial functions and which provides a common framework for recent non-negativity certificates of polynomials in sparse settings. Specifically, this $\mathcal{S}$-cone generalizes and unifies sums of arithmetic-geometric mean exponentials (SAGE) and sums of non-negative circuit polynomials (SONC). We provide a comprehensive characterization of the dual cone of the $\mathcal{S}$-cone, which even for its specializations provides novel and projection-free descriptions. As applications of this result, we give an exact characterization of the extreme rays of the $\mathcal{S}$-cone and thus also of its specializations, and we provide a subclass of functions for which non-negativity coincides with membership in the $\mathcal{S}$-cone. Moreover, we derive from the duality theory an approximation result of non-negative univariate polynomials and show that a SONC analogue of Putinar's Positivstellensatz does not exist even in the univariate case.

研究动机与目标

• 将 SAGE 与 SONC 多项式统一到一个使用 S-锥的共同框架中，以实现稀疏非负多项式优化。
• 提供对 S-锥对偶锥的全面无投影表征，超越先前对 SAGE 与 SONC 对偶锥的研究。
• 推导 S-锥及其特化情形下极射线的新精确表征。
• 证明所有非负单变量多项式均可通过 SONC 多项式逼近。
• 证明 SONC 的 Putinar 型 Positivstellensatz 在单变量情形下亦不成立。

提出的方法

• 将 S-锥 CS(A, B) 定义为通过绝对值单项式与奇数次单项式对 SAGE 和 SONC 锥的广义化。
• 引入 AG 函数作为具有强支撑条件的原子非负构建块。
• 利用约化电路与无投影不等式，表征 S-锥的对偶锥。
• 运用对偶理论，将非负函数表示为非负电路函数之和。
• 通过在对偶锥中截断与参数控制，构造逼近的 SONC 多项式。
• 应用对偶锥结构，证明 SONC 在单变量情形下不存在 Putinar 型 Positivstellensatz。

实验结果

研究问题

• RQ1 SAGE 与 SONC 多项式能否被嵌入到一个统一框架中，同时保持其非负性证书？
• RQ2 S-锥的对偶锥的精确结构是什么？能否在不使用投影的情况下进行描述？
• RQ3 S-锥的极射线是否具有可推广并改进已知 SAGE 与 SONC 结果的表征？
• RQ4 每个非负单变量多项式是否都能通过 SONC 多项式逼近？
• RQ5 即使在单变量情形下，SONC 多项式是否存在类似 Putinar 的 Positivstellensatz？

主要发现

• S-锥的对偶锥可通过支持于约化电路的 AG 函数实现无投影描述，广义并改进了先前对 SAGE 与 SONC 锥对偶表征的研究。
• S-锥中的每个多项式均可分解为非负 AG 函数之和，且其支撑包含于原始支撑中，且无抵消项。
• S-锥的极射线恰好由支撑构成约化电路的非负 AG 函数生成，即使在 SAGE 情形下也提供了精确表征。
• 非负单变量多项式可在 (x)-adic 拓扑下被 SONC 多项式任意紧密逼近，该结论通过构造逼近序列得以证明。
• SONC 的 Putinar 型 Positivstellensatz 即使在单变量情形下也不存在，其反例比先前的多变量构造更强大且更简洁。
• 一大类具有单形牛顿多面体的非负 AG 函数可通过对偶 S-锥表征，统一并简化了 SONC 与 SAGE 理论的早期结果。