[论文解读] A variational non-linear constrained model for the inversion of FDEM data

Alessandro Buccini, Patricia Díaz de Alba|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2021

Geophysical and Geoelectrical Methods参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文提出了一种变分非线性约束模型，用于频域电磁（FDEM）数据反演，通过耦合垂直测线以抑制电导率重建中由噪声引起的‘拼接’伪影。通过最小化一个 ℓ2−ℓq 泛函（0 < q ≤ 2）并施加非负性约束，该方法在电导率模型的拉普拉斯算子中促进稀疏性，从而在噪声条件下仍能确保稳定且准确的解，且在合成数据和真实世界数据上均展现出对现有最先进方法的优越性能。

ABSTRACT

Reconstructing the structure of the soil using non-invasive techniques is a very relevant problem in many scientific fields, like geophysics and archaeology. This can be done, for instance, with the aid of Frequency Domain Electromagnetic (FDEM) induction devices. Inverting FDEM data is a very challenging inverse problem, as the problem is extremely ill-posed, i.e., sensible to the presence of noise in the measured data, and non-linear. Regularization methods substitute the original ill-posed problem with a well-posed one whose solution is an accurate approximation of the desired one. In this paper we develop a regularization method to invert FDEM data. We propose to determine the electrical conductivity of the ground by solving a variational problem. The minimized functional is made up by the sum of two term: the data fitting term ensures that the recovered solution fits the measured data, while the regularization term enforces sparsity on the Laplacian of the solution. The trade-off between the two terms is determined by the regularization parameter. This is achieved by minimizing an $\ell_2 - \ell_q$ functional with $0 < q \leq 2$. Since the functional we wish to minimize is non-convex, we show that the variational problem admits a solution. Moreover, we prove that, if the regularization parameter is tuned accordingly to the amount of noise present in the data, this model induces a regularization method. Some selected numerical examples on synthetic and real data show the good performances of our proposal.

研究动机与目标

• 解决从FDEM数据重建地下电导率的不适定、非线性反演问题。
• 克服传统一维反演方法中因噪声和剖面解耦处理而引起的‘拼接’伪影。
• 开发一种通过耦合相邻垂直电导率剖面以确保稳定性和收敛性的正则化方法。
• 为具有非负性约束的非线性反演问题中的ℓ2−ℓq最小化建立理论基础。
• 在合成与真实FDEM数据上展示该方法的有效性，证明其在重建精度上的优势。

提出的方法

• 将反演问题表述为一个变分问题，通过最小化结合数据保真度（ℓ2范数）和电导率拉普拉斯算子ℓq-范数正则化的泛函来实现。
• 采用离散化模型，其中二维地表表示为矩阵 Σ ∈ ℝ^{n×N}，N个独立的一维剖面沿水平方向堆叠。
• 通过矩阵 D = L ⊗ I + I ⊗ L 应用高阶总变差类正则化，其中 L 为离散拉普拉斯算子，以在梯度中强制实现空间平滑性和稀疏性。
• 对 Σ 施加非负性约束，以反映正电导率的物理现实。
• 使用一种改进的迭代算法求解非凸优化问题，该算法扩展了先前用于线性问题的方法。
• 根据噪声水平调节正则化参数 γ，以确保正则化性质和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 垂直FDEM剖面的水平耦合是否能显著减少由噪声引起的电导率重建中‘拼接’伪影？
• RQ2 在 0 < q ≤ 2 条件下，ℓ2−ℓq 最小化是否能为非线性FDEM反演提供稳定且收敛的正则化方法？
• RQ3 当应用于合成与真实FDEM数据时，所提模型在精度上与现有的一维反演方法相比如何？
• RQ4 ℓq 参数（q ∈ (0,2]）的变化对重建质量及梯度稀疏性有何影响？
• RQ5 ℓ2−ℓq 的理论正则化性质能否从线性问题推广到非线性反演问题？

主要发现

• 在合成数据上，与文献[14]中的最先进方法相比，所提方法将相对重建误差（RRE）降低了最多30%，在测试1中，RRE从0.554降至0.378。
• 在Molentargius Saline Park的真实世界数据中，所提方法生成的重建结果完全无‘拼接’伪影，而文献[14]的方法在多个位置表现出明显的拼接现象。
• 所提算法的重建结果清晰地捕捉到了地下水位界面，而[14]方法则生成了更碎片化且不连贯的图像。
• 对于100×200的合成模型，所提方法的RRE为0.36258，显著低于[14]方法的0.93571，证明了其在高维设置下的鲁棒性。
• 理论分析证实，该变分问题存在解，且当参数γ调节至与噪声水平匹配时，方法能诱导出正则化效果。
• 数值结果表明，设置 q = 0.1 时可获得更优的重建质量，原因在于电导率模型拉普拉斯算子中增强了稀疏性。