[论文解读] A Viscosity Approach to Stochastic Differential Games of Control and Stopping Involving Impulsive Control

David Mguni|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文证明了在涉及脉冲控制者与停止玩家的零和随机微分博弈中，存在一个博弈值，且该博弈值是双障碍拟积分-变分不等式唯一粘性解。该方法利用粘性理论克服了验证方法在光滑性方面的局限性，在扩散动态与脉冲控制具有一般性条件时，确保了问题的适定性。

ABSTRACT

This paper analyses a stochastic differential game of control and stopping in which one of the players modifies a diffusion process using impulse controls, an adversary then chooses a stopping time to end the game. The paper firstly establishes the regularity and boundedness of the upper and lower value functions from which an appropriate variant of the dynamic programming principle (DPP) is derived. It is then proven that the upper and lower value functions coincide so that the game admits a value and that the value of the game is a unique viscosity solution to a HJBI equation described by a double obstacle quasi-integro-variational inequality.

研究动机与目标

• 建立一个随机微分博弈中博弈值存在的条件，其中一名玩家使用脉冲控制，另一名玩家选择停止时间。
• 通过引入粘性理论，克服经典验证方法的局限性，特别是在价值函数缺乏足够光滑性的场景下。
• 将博弈值表征为一个双障碍拟积分-变分不等式形式的哈密顿-雅可比-贝尔曼-伊斯盖斯（HJBI）方程的唯一粘性解。
• 将现有随机微分博弈理论扩展至包含脉冲控制与停止机制的情形，填补了在具有非对称控制与停止机制的双人博弈文献中的空白。
• 为建模金融问题（如含交易成本的终身破产问题）提供严格的理论基础，其中离散交易行为与最优退出时间均至关重要。

提出的方法

• 推导适用于包含脉冲控制与停止时间的博弈结构的动态规划原理（DPP）变体。
• 建立上值函数与下值函数的正则性与有界性，以支持粘性解框架。
• 应用Ishii引理由二阶上喷射集与下喷射集构造上值函数与下值函数之间的比较论证。
• 利用粘性次解与超解性质，推导涉及HJBI方程中漂移项、扩散项与运行成本项的不等式。
• 将价值函数表征为双障碍拟积分-变分不等式的解，反映脉冲控制与停止约束之间的相互作用。
• 采用含参数ε, α, η的扰动论证，处理比较原理，并在假设在最大点处V > U时导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准假设下，带有脉冲控制与停止机制的随机微分博弈是否具有博弈值？
• RQ2 在存在脉冲控制与停止时间的情况下，价值函数是否可表征为HJBI方程的粘性解？
• RQ3 在脉冲控制问题中常见价值函数缺乏光滑性的情况下，如何处理以确保解的适定性？
• RQ4 当同时涉及脉冲控制与停止机制时，支配博弈价值的HJBI方程的精确形式是什么？
• RQ5 在该类博弈的粘性解类中，价值函数是否唯一？

主要发现

• 博弈具有价值，即上值函数与下值函数一致。
• 价值函数是双障碍拟积分-变分不等式的唯一粘性解，该不等式构成博弈的HJBI方程。
• 粘性解框架成功处理了价值函数的光滑性缺失问题，克服了经典验证方法的局限性。
• 在适用于具有脉冲控制与停止机制的博弈的变体形式下，建立了动态规划原理。
• 通过扰动论证与Ishii引理证明了比较原理，当在最大点处假设V > U时导出矛盾。
• 即使在经典HJB推导因不可微性而失效的情况下，价值函数仍以粘性意义满足HJBI方程。