[论文解读] A weighted finite element mass redistribution method for dynamic contact problems

Farshid Dabaghi, Pavel Krejčı́+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2016

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 26被引用 11

一句话总结

本文提出了一种用于动态接触问题的加权有限元质量再分配方法，通过将接触节点的质量转移至邻近节点，消除相位偏移和振荡，同时保持能量守恒。该方法通过混合时间积分格式实现无条件稳定、非耗散的时间积分，显著提升了现有方法的精度。

ABSTRACT

This paper deals with a one-dimensional wave equation being subjected to a unilateral boundary condition. An approximation of this problem combining the finite element and mass redistribution methods is proposed. The mass redistribution method is based on a redistribution of the body mass such that there is no inertia at the contact node and the mass of the contact node is redistributed on the other nodes. The convergence as well as an error estimate in time are proved. The analytical solution associated with a benchmark problem is introduced and it is compared to approximate solutions for different choices of mass redistribution. However some oscillations for the energy associated with approximate solutions obtained for the second order schemes can be observed after the impact. To overcome this difficulty, an new unconditionally stable and a very lightly dissipative scheme is proposed.

研究动机与目标

• 解决由于接触节点处质量移除而导致的动态接触问题数值解中出现的相位偏移和非物理解振荡问题。
• 提出一种质量再分配策略，保持总质量不变，避免人为的能量损失或增加。
• 确保接触-碰撞弹性动力学系统时间积分的无条件稳定性和最小耗散。
• 通过消除相位误差和振荡，提升精度，优于Newmark和隐式Euler等现有方法。
• 通过数值实验在1D中验证该方法的有效性，并将其有效性扩展至高维问题。

提出的方法

• 将接触节点的质量重新分配给相邻节点，保持系统总质量不变，消除接触点处的惯性。
• 基于有限元的空腔半离散化，采用修改后的质量矩阵以实现能量守恒和适定性。
• 提出一种结合Crank-Nicolson与中点法的混合时间积分格式，实现无条件稳定性和最小能量耗散。
• 在Signorini接触条件下，为半离散化格式建立时间收敛性和误差估计。
• 将该方法应用于具有解析分段线性与周期性解的基准问题，以验证其有效性。
• 通过数值实验比较不同再分配模式（如Mod 1：无再分配，Mod 2：质量移除，Mod 3：向相邻节点再分配）的影响，评估其对精度的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将接触节点的质量再分配给邻近节点，消除动态接触问题中解析解与数值解之间的相位偏移？
• RQ2 再分配节点的选择如何影响弹性动力学接触模拟中数值解的精度？
• RQ3 能否构建一种无条件稳定的时间积分格式，避免能量振荡并保持接触-碰撞系统中的高精度？
• RQ4 所提方法是否在消除接触界面处虚假振荡的同时保持能量守恒？
• RQ5 加权质量再分配方法是否可扩展并有效应用于高维问题，如2D弹性动力学？

主要发现

• 加权质量再分配方法消除了解析解与近似解之间的相位偏移，这是以往质量移除方法的主要缺陷。
• 该方法保持了能量守恒，并防止了接触边界处的非物理解振荡，优于Newmark和Paoli-Schatzman格式。
• 混合时间格式确保了无条件稳定，将能量演化降至接近零，其能量行为优于隐式Euler方法。
• 数值实验表明，将质量分配给接触点前一个节点（Mod 3）时误差最低，在2D中Δx = 0.05时总误差率为0.0038。
• 该方法在半离散化中保持了适定性和稳定性，时间收敛性和误差估计已得到理论证明。
• 结果表明该方法具有鲁棒性且可扩展至高维，如表1所示的2D误差率结果所示。