[论文解读] A Weyl-Type Theorem for Geometrized Newtonian Gravity

Erik Curiel|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2015

Relativity and Gravitational Theory参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文在几何化牛顿引力的背景下建立了类Weyl定理，证明了射影结构与相容的共形结构共同决定了度量（至多相差一个常数因子），并完全固定了仿射结构。该结果为牛顿时空几何提供了类似于广义相对论中Weyl定理的几何基础。

ABSTRACT

I state and prove, in the context of a space having only the metrical and affine structure imposed by the geometrized version of Newtonian gravitational theory, a theorem analagous to that of Weyl's for a Lorentz manifold. The theorem says that a projective structure and a suitably defined compatible conformal structure jointly suffice for fixing the metric structure of a Newtonian spacetime model up to constant factors, and for fixing its affine structure as well. The theorem allows one to give a natural, physically compelling interpretation of the spatiotemporal geometry of a geometrized Newtonian gravity spacetime manifold, in close analogy with the way Weyl's Theorem allows one to do in general relativity.

研究动机与目标

• 将Weyl在广义相对论中的几何定理推广至几何化牛顿引力的框架中。
• 识别出足以重构牛顿时空度量与仿射联络的最小几何结构——射影结构与共形结构。
• 为牛顿时空几何提供一个物理上合理且类比于广义相对论的几何解释。

提出的方法

• 仅使用度量结构与仿射结构来形式化牛顿引力，不假设存在完整的洛伦兹度量。
• 引入一个射影结构，以捕捉自由下落粒子的轨迹。
• 定义一个相容的共形结构，以保持牛顿时空的因果结构与时间方向。
• 证明射影结构与共形结构的组合唯一地确定了度量（至多相差一个常数因子）。
• 建立仿射联络完全由这些结构固定，从而确保测地线运动的一致性。
• 通过类比广义相对论中Weyl定理，为该几何框架的物理解释提供依据。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在几何化牛顿引力的背景下表述一个类Weyl定理？
• RQ2 哪些最小的几何结构足以重构牛顿时空的度量与仿射结构？
• RQ3 射影结构与共形结构之间的相互作用在牛顿理论中如何约束时空几何？
• RQ4 该框架在多大程度上允许对牛顿引力进行物理上有意义的几何解释？
• RQ5 该结果与广义相对论中Weyl原始定理相比有何异同？

主要发现

• 射影结构与一个相容的共形结构共同决定了牛顿时空的度量（至多相差一个常数因子）。
• 仿射联络完全由射影与共形结构的组合固定，从而确保与测地线运动的一致性。
• 该几何框架为牛顿时空提供了一种自然的几何解释，类比于广义相对论中的几何解释。
• 该结果为在纯粹几何语言下理解牛顿引力建立了严格的理论基础，无需依赖力的表述。
• 该定理证实，牛顿时空的本质几何特征仅由射影与共形结构即可完全捕捉。
• 分析确认了几何化牛顿引力框架在物理上的一致性与几何上的完备性。