[论文解读] A Yaglom type asymptotic result for subcritical branching Brownian motion with absorption

Jiaqi Liu|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文研究了带有吸收的略亚临界分支布朗运动的 Yaglom 型渐近行为，证明当漂移趋近临界值时，条件存活下粒子数的期望值呈指数增长。通过脊干分解与鞅分析，证明当 ε → 0 时，条件期望的尺度为 exp(Θ(1/√ε))，其中 ε 表示与临界性的距离。

ABSTRACT

We consider a slightly subcritical branching Brownian motion with absorption, where particles move as Brownian motions with drift $-\sqrt{2+2\varepsilon}$, undergo dyadic fission at rate $1$, and are killed when they reach the origin. We obtain a Yaglom type asymptotic result, showing that the long run expected number of particles conditioned on survival grows exponentially as $1/\sqrt{\varepsilon}$ as the process approaches criticality.

研究动机与目标

• 分析带吸收的亚临界分支布朗运动在大时间下存活条件下的粒子数期望的渐近行为。
• 理解当过程从上方趋近临界漂移值 √2 时，该条件期望如何发散。
• 在近临界区域推导存活时间条件期望增长速率的精确指数界。
• 建立系统趋近临界性时，存活粒子数期望的 Yaglom 型极限的严格界。

提出的方法

• 使用脊干分解，将存活概率转化为涉及鞅 V(t) 的期望，该鞅追踪加权粒子位置。
• 通过 Radon-Nikodym 导数 V(t)/V(0) 定义新测度 Qx，使得脊干粒子遵循 Bessel-3 过程。
• 在 Qx 下分析总权重 ∑u Yu(t)e^{ρYu(t)} 的倒数，以刻画 Kε 并进而刻画条件期望。
• 利用时间反向的 Bessel 桥与标度极限，控制粒子位置的尾部行为，并推导 Qx 期望的界。
• 应用 Bessel 过程的大偏差估计与迭代对数律，控制脊干粒子偏离典型路径的罕见事件。
• 通过 Qx[1/∑u Yu(t)e^{ρYu(t)}] 的估计，建立存活概率的上下界，从而获得 1/√ε 的指数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移 ρ 从上方趋近临界值 √2 时，条件存活下粒子数的期望行为如何？
• RQ2 在近临界区域，条件期望的精确指数增长速率为何？
• RQ3 罕见事件——即异常多的粒子存活——如何影响存活者的期望数量？
• RQ4 能否使用鞅与脊干技术对略亚临界区域的存活概率进行有界控制？
• RQ5 脊干粒子路径在决定存活概率渐近行为中起什么作用？

主要发现

• 当 ε → 0 时，长期条件存活下粒子数的期望值以 exp(Θ(1/√ε)) 的速率增长，其中 ε = ρ²/2 − 1 且 ρ = √2 + 2ε。
• 存在正常数 C1 和 C2，使得 lim_{t→∞} E^x_−ρ[N^−ρ_t | N^−ρ_t > 0] 的极限值介于 exp(C1/√ε) 与 exp(C2/√ε) 之间。
• 存活概率的渐近行为由 Kε 刻画，满足 Kε ∼ √(2πt³) / (E^x_−ρ[N^−ρ_t] e^{−εt + ρx}) 当 t → ∞。
• 证明依赖于一种脊干分解，将存活概率重写为涉及鞅倒数的期望。
• 条件期望的上下界通过分析脊干路径并利用 Bessel 桥估计控制偏差而导出。
• 分析表明，期望值主要由脊干粒子长期停留在狭窄区域的罕见路径主导，而典型样本实现的粒子数远少于期望值所暗示的数量。