[论文解读] Abelian points on algebraic curves

Pete L. Clark|ArXiv.org|Apr 11, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文在 ℚ 上构造了显式的代数曲线，这些曲线在其最大阿贝尔扩张 ℚ^ab 上不具有有理点，证明了当 g ≥ 4 时此类曲线的存在性，并给出了 ℚ 和 ℚ((t)) 上的椭圆曲线与三次曲线的显式例子。通过局部-整体原理、伽罗瓦上同调以及 p 进域上的范数形式，本文证明了某些对角三次曲线与高亏格曲线不存在阿贝尔点，从而解决了关于阿贝尔点在曲线上的普遍性这一长期存在的问题。

ABSTRACT

We study the question of whether algebraic curves of a given genus g defined over a field K must have points rational over the maximal abelian extension K^{ab} of K. We give: (i) an explicit family of diagonal plane cubic curves with Q^{ab}-points, (ii) for every number field K, a genus one curve C_{/Q} with no K^{ab}-points, and (iii) for every g \geq 4 an algebraic curve C_{/Q} of genus g with no Q^{ab}-points. In an appendix, we discuss varieties over Q((t)), obtaining in particular a curve of genus 3 without (Q((t)))^{ab}-points.

研究动机与目标

• 确定在数域上定义的亏格 g ≥ 1 的代数曲线是否必须在其最大阿贝尔扩张上具有有理点。
• 构造在亏格 1 和 3 时无阿贝尔点的显式、简洁的曲线例子，特别是针对 ℚ。
• 通过拉回技巧与伽罗瓦上同调，将局部域（如 ℚ_p）上的结果推广至全局域（如 ℚ）。
• 研究在更高亏格下（特别是 g ≥ 4）是否存在无阿贝尔点的曲线。
• 探讨 Severi-Brauer簇与范数形式在构造无阿贝尔点的代数簇中的作用。

提出的方法

• 在 ℚ_p 上利用对角三次形式 aX³ + bpY³ + cp²Z³ = 0 构造在 ℚ_p^ab 上无点的亏格 1 曲线，借助 p 进赋值论证。
• 应用克罗内克-韦伯定理与塞波塔雷夫密度定理，将局部障碍推广至全局数域 K，证明存在在 K^ab 上无点的曲线。
• 利用伽罗瓦上同调与韦伊-沙法列维奇群，构造 ℚ 上的亏格 1 曲线 C，使得 C(ℚ^ab) = ∅，方法为选取秩为 0 且沙法列维奇-塔特群有限的椭圆曲线。
• 通过将局部曲线拉回到全局域 ℚ 上的曲线，构造高亏格曲线，同时保持无阿贝尔点的性质。
• 对 Galois 群为 S_d 的 d 次数域 K/ℚ 使用范数形式 N(L/K)，构造无阿贝尔点的超曲面。
• 应用稳定约化理论与完备离散赋值域上曲线的对偶图上的群作用，构造在 F((t)) 上无阿贝尔点的亏格 3 曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有在 ℚ 上定义的亏格 g ≥ 1 的代数曲线是否都具有 ℚ^ab 上的有理点？
• RQ2 能否在 ℚ 上显式构造出在 ℚ^ab 上无点的亏格 1 曲线？
• RQ3 对所有 g ≥ 4，是否存在在 ℚ 上无 ℚ^ab 点的亏格 g 曲线？
• RQ4 能否构造出无阿贝尔点的几何有理曲面或次数 d ≥ 3 的曲线？
• RQ5 在局部域如 ℚ_p((t)) 上无阿贝尔点的曲线是否能提升为 ℚ 上的全局曲线？

主要发现

• 对任意满足 p ≡ -1 mod 3 的素数 p 及与 p 互素的整数 a,b,c，对角三次曲线 aX³ + bpY³ + cp²Z³ = 0 在 ℚ_p^ab 上无点。
• 对任意其伽罗瓦闭包不包含 ℚ(μ₃) 的数域 K，存在 ℚ 上的亏格 1 曲线 C，使得 C 在 K^ab 上无点。
• 对任意 g ≥ 4，存在光滑、射影、几何不可约的 ℚ 上亏格 g 曲线 C，使得 C 在 ℚ^ab 上无点。
• 通过稳定约化与对偶图上的伽罗瓦作用，构造了在 ℚ((t)) 上无 (ℚ((t)))^ab 点的亏格 3 曲线。
• 存在一个几何有理曲面 S/F，其在 F 上无阿贝尔点，该曲面为 F 上一个奇异三次三空间的解析解。
• 对任意 d ≥ 3，存在一个在域 F 上的光滑平面曲线，其次数为 d，且无阿贝尔点，该曲线通过范数形式与一般 2-平面的交线构造。