[论文解读] Absorbing Cantor sets in dynamical systems: Fibonacci maps

Henk Bruin, Gerhard Keller+2 more|ArXiv.org|Jan 29, 1994

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文构建了一个在 [0,1] 上的非重整化单峰多项式映射，其临界点的 ω 极限集为康托集，但对勒贝格几乎处处的点，其 ω 极限集与临界点的 ω 极限集一致。该结果通过展示一个拓扑吸引子与度量吸引子不同的情形，解决了米尔诺提出的问题，即使得映射非重整化且具有剩余集的点具有区间型 ω 极限集。

ABSTRACT

In this paper we shall show that there exists a polynomial unimodal map f: [0,1] -> [0,1] which is 1) non-renormalizable(therefore for each x from a residual set, $ω(x)$ is equal to an interval), 2) for which $ω(c)$ is a Cantor set, and 3) for which $ω(x)=ω(c)$ for Lebesgue almost all x. So the topological and the metric attractor of such a map do not coincide. This gives the answer to a question posed by Milnor.

研究动机与目标

• 为米尔诺在单峰动力系统中关于拓扑吸引子与度量吸引子之间区别的问题提供解答。
• 在 [0,1] 上构造一个非重整化单峰映射，使得临界点的 ω 极限集为康托集。
• 证明对勒贝格几乎处处的点，其 ω 极限集等于临界点的 ω 极限集，尽管剩余集中的点具有区间型 ω 极限集。
• 证明在此类系统中，拓扑吸引子（遍历点的闭包）与度量吸引子（不变测度的支撑集）不重合。
• 提供一个反例，以反驳‘当临界点的 ω 极限集为康托集时，非重整化映射必有区间型吸引子’的猜想。

提出的方法

• 构造一个具有斐波那契式组合结构的特定多项式单峰映射 f: [0,1] → [0,1]，以确保其非重整化性。
• 利用斐波那契组合结构控制映射在临界点附近的返回时间与尺度行为。
• 应用实分析与区间动力系统的技术，验证临界点的 ω 极限集为康托集。
• 通过扭曲估计与收缩邻域技术，证明具有与临界点相同 ω 极限集的点的集合具有勒贝格全测度。
• 借助非重整化性与周期轨道的稠密性，建立剩余集中点具有区间型 ω 极限集的性质。
• 结合拓扑动力系统与测度论论证，区分拓扑吸引子与度量吸引子。

实验结果

研究问题

• RQ1 非重整化单峰映射能否使其临界点的 ω 极限集为康托集？
• RQ2 此类映射是否可能使勒贝格几乎处处的点与临界点共享相同的 ω 极限集？
• RQ3 在非重整化单峰系统中，拓扑吸引子与度量吸引子是否可能不重合？
• RQ4 若存在一个剩余集，其点具有区间型 ω 极限集，是否排除了几乎所有点共享康托集吸引子的可能性？
• RQ5 何种动力结构使得非重整化映射既能支持康托集吸引子，又能使几乎所有点收敛于该吸引子？

主要发现

• 存在一个非重整化单峰多项式映射 f: [0,1] → [0,1]，使得临界点的 ω(c)（即临界点的 ω 极限集）为康托集。
• 对勒贝格几乎处处的 x ∈ [0,1]，有 ω(x) = ω(c)，即度量吸引子为康托集。
• 尽管几乎所有点的 ω 极限集为康托集，但剩余集中的点具有区间型 ω 极限集。
• 拓扑吸引子（遍历点的闭包）严格大于度量吸引子（不变测度的支撑集），后者即为康托集。
• 该构造为‘当临界点的 ω 极限集为康托集时，非重整化映射必有区间型吸引子’这一观点提供了反例。
• 结果证实，在非重整化单峰系统中，拓扑吸引子与度量吸引子可以不同，从而解决了米尔诺的问题。