[论文解读] Abstract integrals in algebra: coalgebras, Hopf algebras and compact groups

Miodrag C. Iovanov|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文通过纯粹的（余）代数框架，将紧致群和霍普夫代数中积分的存在性与唯一性推广至任意余代数。它引入了右 $C$-余模 $M$ 的广义积分空间 $∫_M = \mathrm{Hom}^C(C, M)$，并证明余代数 $C$ 是余弗罗贝尼乌斯的，当且仅当所有有限维余模上同时满足积分的存在性与唯一性——这一刻画扩展了霍普夫代数理论中的经典结果，并为无限维代数的表示理论提供了新见解。

ABSTRACT

We generalize the results on existence and uniqueness of integrals from compact groups and Hopf algebras in a pure (co)algebraic setting, and find a series of new results on (quasi)-co-Frobenius and semiperfect coalgebras. For a coalgebra $C$, we introduce the generalized space of integrals $\int_M=\Hom^C(C,M)$ associated to a right $C$-comodule $M$ and study connections between "uniqueness of integrals" $\dim(\int_M)\leq \dim(M)$ and "existence of integrals" $\dim(\int_M)\geq \dim(M)$ for all $M$ and representation theoretic properties of $C$: (quasi)-co-Frobenius, semiperfect. We show that a coalgebra is co-Frobenius if and only if existence and uniqueness of integrals holds for any finite dimensional $M$. We give the interpretation for $\int_M$ for the coalgebra of representative functions of a compact group - they will be "quantum"-invariant vector integrals. As applications, new proofs of well known characterizations of co-Frobenius coalgebras and Hopf algebras are obtained, as well as the uniqueness of integrals in Hopf algebras. We also give the consequences for the representation theory of infinite dimensional algebras. We give an extensive class of examples which show that the results of the paper are the best possible. These examples are then used to give all the previously unknown connections between the various important classes of coalgebras appearing in literature.

研究动机与目标

• 将紧致群和霍普夫代数中积分的经典理论推广至任意余代数的纯（余）代数框架。
• 为任意右 $C$-余模 $M$ 定义并研究广义积分空间 $\int_M = \mathrm{Hom}^C(C, M)$，推广左积分的概念。
• 通过所有有限维余模上积分的共存与唯一性，建立余弗罗贝尼乌斯余代数的刻画。
• 利用此广义框架，为已知的余弗罗贝尼乌斯与拟完美余代数结果提供新证明。
• 将积分的代数概念与紧致群上量子不变向量值积分联系起来，表明它们自然源自表示函数的余代数结构。

提出的方法

• 为右 $C$-余模 $M$ 定义左积分空间 $\int_{l,M} = \mathrm{Hom}_{C^*}(C^C, M^C)$，推广霍普夫代数中积分作为 $C^*$-模映射的概念。
• 以 $\dim(\int_{l,M}) \leq \dim(M)$ 衡量积分的唯一性，以 $\dim(\int_{l,M}) \geq \dim(M)$ 衡量积分的存在性。
• 证明余代数 $C$ 是余弗罗贝尼乌斯的，当且仅当对所有有限维右 $C$-余模 $M$，有 $\dim(\int_{l,M}) = \dim(M)$，从而将该性质与积分的存在性与唯一性联系起来。
• 通过哈尔测度在紧致群 $G$ 上的 $C(G)$ 构造显式的量子不变积分，表明其对应于 $\mathrm{Hom}^{R_c(G)}(R_c(G), V)$ 中的元素，其中 $\eta: G \to \mathrm{GL}(V)$ 为一个表示。
• 应用彼得-外尔定理，证明 $C(G)$ 上的连续积分由其在 $R_c(G)$ 上的限制唯一确定，并利用此性质证明量子不变积分的唯一性。
• 利用紧致群 $G$ 上存在归一化的左哈尔测度，构造映射 $H_\eta: V \to \mathrm{Int}_\eta$ 的左逆，证明 $\dim(\mathrm{Int}_\eta) \geq \dim(V)$，从而确立积分的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，余代数 $C$ 的广义积分空间 $\int_M = \mathrm{Hom}^C(C, M)$ 对所有有限维右 $C$-余模 $M$ 满足 $\dim(\int_M) \geq \dim(M)$？
• RQ2 在何种条件下，对所有有限维右 $C$-余模 $M$，有 $\dim(\int_M) \leq \dim(M)$ 成立，表明积分具有唯一性？
• RQ3 对所有有限维余模，积分的存在性与唯一性同时成立的余代数 $C$ 的精确代数刻画是什么？
• RQ4 紧致群 $G$ 上的量子不变向量值积分与余代数 $R_c(G)$ 中的代数积分之间有何关系？
• RQ5 哈尔测度在广义框架中构造显式积分时起到什么作用？它如何确保积分的存在性？

主要发现

• 余代数 $C$ 是余弗罗贝尼乌斯的，当且仅当对每个有限维右 $C$-余模 $M$，广义积分空间 $\int_M$ 满足 $\dim(\int_M) = \dim(M)$，从而通过积分的存在性与唯一性给出了完全刻画。
• 对紧致群 $G$ 及表示 $\eta: G \to \mathrm{GL}(V)$，量子 $\eta$-不变积分空间 $\mathrm{Int}_\eta$ 在 $C(G)$ 上满足 $\dim(\mathrm{Int}_\eta) \leq \dim(V)$，从而证明了此类积分的唯一性。
• 紧致群 $G$ 上存在归一化的左哈尔测度，确保映射 $H_\eta: V \to \mathrm{Int}_\eta$ 是线性嵌入且存在左逆，从而证明 $\dim(\mathrm{Int}_\eta) \geq \dim(V)$，故 $\dim(\mathrm{Int}_\eta) = \dim(V)$。
• 对有限维右 $C$-余模 $M$，广义积分空间 $\int_M = \mathrm{Hom}^C(C, M)$ 同构于 $\mathrm{Hom}_{C^*}(C^C, M^C)$，为在无霍普夫代数结构时提供积分的典范代数框架。
• 对紧致群 $G$ 上的表示函数余代数 $R_c(G)$，广义积分 $\int_M$ 恰好对应于 $C(G)$ 上关于表示 $\eta$ 作用下不变的连续向量值积分，从而将泛函分析与代数联系起来。
• 本文通过证明在存在非零积分的条件下，对平凡余模 $M = K$ 有 $\dim(\int_M) = 1$，为霍普夫代数中积分的唯一性提供了新证明。