[论文解读] Accessibility percolation and first-passage site percolation on the unoriented binary hypercube

Anders Martinsson|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2015

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 9被引用 11

一句话总结

该论文确定了在独立同分布的 $U(0,1)$ 适应度权重下，全局适应度最大值从全零顶点在无向 $n$-维二元超立方体中可达的极限概率，证明了当 $n \to \infty$ 时，其收敛于 $1 - \frac{1}{2}\ln(2 + \sqrt{5})$。此外，当条件限定于最大适应度顶点 $\hat{v}$ 时，可达性概率收敛于归一化汉明距离 $|\hat{v}|/n$ 的函数，几乎在全部一般性下解决了 Berestycki、Brunet 和 Shi 的一个猜想。

ABSTRACT

Inspired by biological evolution, we consider the following so-called accessibility percolation problem: The vertices of the unoriented $n$-dimensional binary hypercube are assigned independent $U(0, 1)$ weights, referred to as fitnesses. A path is considered accessible if fitnesses are strictly increasing along it. We prove that the probability that the global fitness maximum is accessible from the all zeroes vertex converges to $1-\frac{1}{2}\ln\left(2+\sqrt{5} ight)$ as $n ightarrow\infty$. Moreover, we prove that if one conditions on the location of the fitness maximum being $v$, then provided $v$ is not too close to the all zeroes vertex in Hamming distance, the probability that $v$ is accessible converges to a function of this distance divided by $n$ as $n ightarrow\infty$. This resolves a conjecture by Berestycki, Brunet and Shi in almost full generality. As a second result we show that, for any graph, accessibility percolation can equivalently be formulated in terms of first-passage site percolation. This connection is of particular importance for the study of accessibility percolation on trees.

研究动机与目标

• 确定在独立同分布的 $U(0,1)$ 适应度权重下，全局适应度最大值从无向 $n$-维二元超立方体的全零顶点可达的极限概率。
• 研究从全零顶点到条件化的全局适应度最大值 $\hat{v}$ 的可达性概率如何依赖于归一化汉明距离 $|\hat{v}|/n$。
• 建立任意图上可达性渗滤与首次通过点渗滤之间的一般等价性，从而实现对先前结果的重新表述。
• 解决 Berestycki、Brunet 和 Shi 关于作为归一化距离函数的渐近可达性概率的猜想。
• 分析超立方体模型中的首次通过时间分布，并推导在给定时间阈值内到达适应度最大值的概率的界。

提出的方法

• 使用首次通过点渗滤作为可达性渗滤的等价表述，从而能够应用已建立的渗滤理论。
• 应用大偏差估计和集中不等式，以控制超立方体中顶点通过时间的尾部行为。
• 通过将超立方体递归分解为维度为 $n-2$ 的子图 $Q_0$ 和 $Q_1$，隔离经过中间顶点的路径。
• 利用二项分布集中性，表明以高概率存在多个坐标，使得 $e_i$ 和 $\hat{v} - e_i$ 的通过时间均较小。
• 通过子图通过时间的独立性，对首次通过时间被 $\vartheta(x) + \varepsilon$ 限制的概率应用迭代界。
• 通过子图间独立性递归改进下界，最终收敛于 $1 - \frac{1}{2}\ln(2 + \sqrt{5})$，当 $n \to \infty$ 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 在独立同分布的 $U(0,1)$ 适应度权重下，全局适应度最大值从无向 $n$-维二元超立方体的全零顶点可达的极限概率是多少？
• RQ2 从全零顶点到适应度最大值 $\hat{v}$ 的可达性概率如何依赖于归一化汉明距离 $|\hat{v}|/n$？
• RQ3 任意图上的可达性渗滤能否等价地表述为首次通过点渗滤？
• RQ4 当 $\hat{v}$ 不太接近全零顶点时，渐近可达性概率是否收敛于归一化距离 $|\hat{v}|/n$ 的非平凡函数？
• RQ5 当 $n \to \infty$ 时，对于满足 $|\hat{v}_n|/n \to x$ 的序列 $\hat{v}_n$，首次通过时间 $\mathcal{T}_V'(\hat{0}, \hat{v}_n)$ 的极限行为如何？

主要发现

• 全局适应度最大值从全零顶点可达的概率收敛于 $1 - \frac{1}{2}\ln(2 + \sqrt{5}) \approx 0.298$，当 $n \to \infty$ 时。
• 对于满足 $|\hat{v}_n|/n \to x \geq 0.002$ 的序列 $\hat{v}_n$，可达性概率收敛于依赖于 $x$ 的函数，该函数取决于归一化汉明距离。
• 首次通过时间 $\mathcal{T}_V'(\hat{0}, \hat{v}_n)$ 以高概率被 $\vartheta(x) + \varepsilon$ 限制，其中 $\vartheta(x)$ 是一个极限阈值函数，对任意 $\varepsilon > 0$ 成立。
• 通过子图间的独立性，可达性概率的下界被迭代改进，最终在极限下收敛于 $1 - \frac{1}{2}\ln(2 + \sqrt{5})$。
• 可达性渗滤与首次通过点渗滤之间的等价性在任意图上成立，为分析可达路径提供了新框架。
• 该结果在几乎全部一般性下确认了 Berestycki、Brunet 和 Shi 的猜想，仅排除了汉明距离上非常接近全零顶点的顶点。