[论文解读] Accessible values of Assouad and the lower dimensions of subsets

Changhao Chen, Meng Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明，在双倍度量空间中，区间 $[0, \dim_A^*E]$ 内的每一个值都可以作为某个子集 $F \subset E$ 的 Assouad 维数实现，且下维数的情形亦成立。作者通过迭代构造子集并结合覆盖与打包论证，将经典 Hausdorff 维数与打包维数的可实现性结果推广至这些分形维数。

ABSTRACT

Let $E$ be a subset of a doubling metric space $(X,d)$. We prove that for any $s\in [0, \dim_{A}E]$, where $\dim_{A}$ denotes the Assouad dimension, there exists a subset $F$ of $E$ such that $\dim_{A}F=s$. We also show that the same statement holds for the lower dimension $\dim_L$.

研究动机与目标

• 研究在双倍度量空间中，区间 $[0, \dim_A^*E]$ 内的每一个值是否都能作为子集 $F \subset E$ 的 Assouad 维数实现。
• 将经典维数（Hausdorff、打包、盒计数）的可实现性性质推广至 Assouad 维数与下维数。
• 建立下维数也满足可实现性性质，与 Assouad 维数的结果相一致。
• 展示局部与全局 Assouad 维数在无界集合中可能显著不同，甚至在欧氏空间中亦然，并构造具有预设局部与全局维数的集合。

提出的方法

• 利用 Assouad 嵌入定理，将问题约化为欧氏空间 $\mathbb{R}^d$ 上的子集问题，借助双李普希茨嵌入。
• 通过在递减尺度下迭代选择不相交的球，构造子集 $F \subset E$，并控制覆盖数。
• 定义 $F = \bigcap_{n \geq 1} E_n$，其中 $E_n$ 是 $M^n$ 个半径为 $R_n$ 的不相交球的并集，且满足 $R_n = \lambda^n R_0$ 与 $M = \lambda^{-\alpha}$。
• 利用覆盖数 $N_r^*(F \cap B(x,R))$ 的下确界来定义下维数，建立与 $(R/r)^\alpha$ 成比例的下界。
• 使用不等式 $N_r^*(F \cap B(x,R)) \geq C_M (R/r)^\alpha$（对所有 $0 < r < R \leq R_0$ 成立），其中 $C_M = 1/(M+1)$，以验证下维数条件。
• 利用雪flake 变换下 Assouad 维数与下维数的等价性，将结果从欧氏空间推广至一般双倍空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双倍度量空间中，是否对任意 $\alpha \in [0, \dim_A^*E]$，都存在子集 $F \subset E$ 使得 $\dim_A^*F = \alpha$？
• RQ2 下维数是否也满足可实现性性质，即对任意 $\alpha \in [0, \dim_L E]$，是否存在 $F \subset E$ 使得 $\dim_L F = \alpha$？
• RQ3 在无界集合中，局部与全局 Assouad 维数之间有何关系？它们能否被独立指定？
• RQ4 雪flake 度量与双李普希茨嵌入在将一般情形约化为欧氏空间中的作用是什么？

主要发现

• 对双倍度量空间中任意子集 $E$ 及任意 $\alpha \in [0, \dim_A^*E]$，存在子集 $F \subset E$ 使得 $\dim_A^*F = \alpha$。
• 下维数亦具有相同的可实现性结果：对任意 $\alpha \in [0, \dim_L E]$，存在 $F \subset E$ 使得 $\dim_L F = \alpha$。
• 局部 Assouad 维数 $\dim_A^*E$ 与全局 Assouad 维数 $\dim_A E$ 可能显著不同；例如，$\dim_A^*\mathbb{Z}^d = 0$ 而 $\dim_A\mathbb{Z}^d = d$。
• 对任意满足 $0 \leq \alpha < \beta \leq d$ 的 $\alpha, \beta$，存在 $\mathbb{R}^d$ 的子集 $E$ 使得 $\dim_A^*E = \alpha$ 且 $\dim_A E = \beta$。
• 通过验证对所有 $0 < r < R \leq R_0$ 有 $N_r^*(F \cap B(x,R)) \geq C_M (R/r)^\alpha$，构造确保了 $\dim_L F = \alpha$，满足下维数的定义。
• 局部 Assouad 维数的结果由 Wang 与 Wen 独立获得，证实了该构造方法的稳健性。