[论文解读] Actions of amenable groups and crossed products of Z-absorbing C*-algebras

Yasuhiko Sato|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 28被引用 9

一句话总结

本文证明了，当迹空间为Bauer单纯形且作用固定所有迹态时，若一个单位元、可分、简单、核的$\mathrm{C}^*$-代数关于阿贝尔群作用的交叉积吸收 Jiang-Su 代数$\mathcal{Z}$，则其张量积形式下也吸收$\mathcal{Z}$。关键结果通过超乘积技术和中心序列代数中的 Rokhlin 型逼近，将$\mathcal{Z}$-吸收的保持性推广至非强外作用的情形。

ABSTRACT

We study actions of countable discrete amenable groups on unital separable simple nuclear Z-absorbing C*-algebras. Under a certain assumption on tracial states, which is automatically satisfied in the case of a unique tracial state, the crossed product is shown to absorb the Jiang-Su algebra Z tensorially.

研究动机与目标

• 将$\mathcal{Z}$-吸收的保持性推广至非强外作用的阿贝尔群作用下的$\mathcal{Z}$-吸收$\mathrm{C}^*$-代数的交叉积。
• 建立交叉积代数$A\rtimes_\alpha G$保持$\mathcal{Z}$-吸收性的条件，特别是当迹空间为Bauer单纯形时。
• 将先前关于$\mathbb{Z}$、$\mathbb{R}$或紧致群作用下$\mathcal{Z}$-吸收性的结果推广至一般可数离散阿贝尔群。
• 通过超乘积和中心序列代数构建分析固定点子代数并构造$\mathcal{Z}$-嵌入的框架。

提出的方法

• 利用超乘积构造$A^\omega$和中心序列代数$A_\omega = A' \cap A^\omega$，以分析渐近交换性和固定点行为。
• 应用通过中心序列代数中较小的 Rokhlin 塔刻画外性的方法，推广了纯无限$\mathrm{C}^* $-代数中的结果。
• 使用$A$中几乎中心的投影和压缩元构造 Rokhlin 型逼近，以实现与群作用的渐近交换性。
• 在$A_\omega$的$\alpha$-固定点子代数中构造从维数下降代数$I_{k,k+1}$到$\mathcal{Z}$的通用性质的 *-同态。
• 利用$\mathcal{Z}$是$I_{k,k+1}$的归纳极限这一事实，将$A_\omega$-固定点中的嵌入提升为$\mathcal{Z}$的单位元嵌入。
• 依赖于迹空间的极端边界是紧致且有限维的假设，且作用固定所有迹态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阿贝尔群作用$\alpha$下，$\mathcal{Z}$-吸收$\mathrm{C}^*$-代数$A$的交叉积$A\rtimes_\alpha G$在何种条件下仍保持$\mathcal{Z}$-吸收性？
• RQ2 当作用非强外但仍是外作用且固定所有迹态时，$\mathcal{Z}$-吸收性是否仍能在交叉积中保持？
• RQ3 如何利用超乘积技术和中心序列代数在$A_\omega$的固定点子代数中构造$\mathcal{Z}$-嵌入？
• RQ4 迹空间的结构——特别是其为Bauer单纯形——在确保核维数有界和$\mathcal{Z}$-吸收性方面起什么作用？
• RQ5 能否将$\mathcal{Z}$-吸收性的保持性从$\mathbb{Z}$、$\mathbb{R}$和紧致群推广至一般可数离散阿贝尔群？

主要发现

• 当$A$为单位元、可分、简单、核的$\mathcal{Z}$-吸收$\mathrm{C}^*$-代数，$G$为可数离散阿贝尔群，且$\alpha$固定所有迹态且迹空间为Bauer单纯形时，交叉积$A\rtimes_\alpha G$是$\mathcal{Z}$-吸收的。
• 主要结果通过在$A_\omega$的$\alpha$-固定点子代数中构造从$\mathcal{Z}$到该子代数的单位元$*$-同态而证明，利用了渐近 Rokhlin 塔和维数下降代数$I_{k,k+1}$。
• 当$A$有唯一迹态且交叉积的迹空间为Bauer单纯形时，$A\rtimes_\alpha G$的核维数至多为一。
• 该结果将先前关于$\mathbb{Z}$、$\mathbb{R}$和紧致群作用下$\mathcal{Z}$-吸收性的保持性结果推广至一般阿贝尔群。
• 该构造依赖于在$A_\omega$的固定点子代数中存在满足迹条件的$C_0((0,1])\otimes M_k$的嵌入，这通过归纳极限结构意味着$\mathcal{Z}$-嵌入。
• 本文确认了在 CAR 代数和$\mathcal{Z}$本身上的伯努利移位中$\mathcal{Z}$-吸收性成立，扩展了[33]和[24]中的结果。