[论文解读] Adapted numerical methods for the numerical solution of the Poisson equation with $L^2$ boundary data in non-convex domains

Thomas Apel, Serge Nicaise+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用 4

一句话总结

本论文提出了两种改进的数值方法——带网格加密的有限元法与对偶奇异补全法（DSCM），以恢复在非凸区域中具有 $L^2$ 边界数据的泊松方程的最优 $L^2$ 收敛阶 $1/2$。标准方法因角点奇异性导致收敛阶降低。所提方法有效处理了对偶问题中的奇异性行为，并通过数值实验验证，收敛阶接近 $1/2$。

ABSTRACT

The very weak solution of the Poisson equation with $L^2$ boundary data is defined by the method of transposition. The finite element solution with regularized boundary data converges in the $L^2(Ω)$-norm with order $1/2$ in convex domains but has a reduced convergence order in non-convex domains although the solution remains to be contained in $H^{1/2}(Ω)$. The reason is a singularity in the dual problem. In this paper we propose and analyze, as a remedy, both a standard finite element method with mesh grading and a dual variant of the singular complement method. The error order 1/2 is retained in both cases also with non-convex domains. Numerical experiments confirm the theoretical results.

研究动机与目标

• 解决在非凸区域中，泊松方程具有 $L^2$ 边界数据时，有限元解在 $L^2$-范数下收敛阶降低的问题。
• 克服在非凸区域中因对偶问题奇异性导致收敛阶低于 $1/2$ 的问题。
• 开发并分析在存在角点奇异性时仍能保持最优收敛阶 $1/2$ 的数值方法。
• 通过在内角 $\omega \in (\pi, 2\pi)$ 的区域上进行数值实验，验证理论收敛速率。

提出的方法

• 通过在内角 $\omega > \pi$ 的角点处采用对数加密网格，对标准有限元法进行改进，加密参数为 $\mu = 2\pi/\omega - 1$。
• 提出一种对偶形式的奇异补全法（DSCM），通过在有限元空间中引入奇异函数 $r^{-\lambda}\sin(\lambda\theta)$，其中 $\lambda = \pi/\omega$，来增强逼近能力。
• 采用改进的 Aubin-Nitsche 方法推导 $L^2$-误差估计，以处理弱解不存在及非齐次 Dirichlet 边界条件的问题。
• 在边界上采用加密网格的广义积分规则，其中 $h_E \sim h r_E^{1-\mu}$，以准确计算涉及奇异函数的边界积分。
• 通过 $L^2$ 投影或拟插值对 $L^2$ 边界数据进行正则化，以确保其与有限元空间相容。
• 在 $Y_{*h} \subset H^1(\Omega)$ 中使用变分形式求解离散问题，其中 Dirichlet 边界条件在 $Y_h^\partial$ 中进行逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非凸区域中，对于具有 $L^2$ 边界数据的泊松方程，能否恢复最优的 $L^2$ 收敛阶 $1/2$？
• RQ2 对偶问题中的奇异性在何种程度上导致标准有限元方法的收敛阶低于 $1/2$？
• RQ3 网格加密与对偶奇异补全法如何减轻角点奇异性对收敛性的影响？
• RQ4 为实现 $L^2$ 收敛阶 $1/2$，加密网格的最优加密参数 $\mu$ 是多少？

主要发现

• 当加密参数设置为 $\mu = 2\pi/\omega - 1$ 时，采用网格加密的标准有限元法可在非凸区域中实现 $L^2$-收敛阶 $1/2$，与凸区域情况一致。
• 对偶奇异补全法（DSCM）即使在存在奇异边界数据的情况下，也能恢复非凸区域中的 $L^2$-收敛阶 $1/2$。
• 数值实验结果表明，两种方法的收敛阶均趋近于 $1/2$，在 $ω = 270^\circ$ 和 $ω = 355^\circ$ 的测试案例中，观测收敛阶为 $0.493$ 至 $0.498$。
• 尽管奇异函数 $r^{-\lambda}\sin(\lambda\theta)$ 在角点处趋于无穷，但 DSCM 解的 $L^2$-误差仍因对解奇异行为的更好逼近而受益。
• 为避免积分误差主导整体误差，必须针对加密网格调整边界积分的求积规则。
• 对于 $ω = 270^\circ$，DSCM 在 $394241$ 个自由度下实现了 $0.498$ 的观测收敛阶，非常接近理论值 $1/2$。