[论文解读] Adaptive and anisotropic finite element approximation : Theory and algorithms

Jean‐Marie Mirebeau|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 49被引用 5

一句话总结

本博士论文通过将最优网格适配问题表述为在固定基数的三角剖分上最小化逼近误差，建立了自适应各向异性有限元逼近的理论与算法基础。论文证明了光滑函数的渐近误差衰减率，识别出与最优适配相关的函数类，推导了离散优化问题的连续松弛形式，并提出了一种生成近似最优网格的分层加密策略。

ABSTRACT

Mesh adaption procedures for finite element approximation allows one to adapt the resolution, by local refinement in the regions of strong variation of the function of interest. This procedure plays a key role in numerous applications of scientific computing. The use of anisotropic triangles allows to improve the efficiency of the procedure by introducing long and thin triangles that fit in particular the directions of the possible curves of discontinuity. Given a norm X of interest and a function f to be approximated, we formulate the problem of optimal mesh adaptation, as minimizing the approximation error over all (possibly anisotropic) triangulations of prescribed cardinality. We address the four following questions related to this problem: I. How does the approximation error behave in the asymptotic regime when the number of triangles N tends to infinity, when f is a smooth function ? II. Which classes of functions govern the rate of decay of the approximation error as N grows, and are in that sense naturally tied to the problem of optimal mesh adaptation? III. Could this optimization problem, which is posed on triangulations of a given cardinality N, be replaced by an equivalent more tractable problem posed on a continuous object? IV. Is it possible to produce a near-optimal sequence of triangulations using a hierarchical refinement procedure?

研究动机与目标

• 使用各向异性三角剖分建立最优网格适配的严格数学框架。
• 理解当单元数量增加时逼近误差的渐近衰减行为。
• 识别出其正则性天然与各向异性网格适配相匹配的函数类。
• 将离散网格优化问题重新表述为更易处理的连续问题。
• 设计一种分层加密算法，生成近似最优的三角剖分。

提出的方法

• 将最优网格适配问题表述为在所有给定基数 N 的三角剖分上最小化逼近误差。
• 分析当 N → ∞ 时光滑函数逼近误差的渐近行为。
• 识别出索博列夫空间与加权索博列夫空间作为控制误差衰减速率的函数类。
• 引入使用黎曼度量表示各向异性的连续松弛方法，以实现离散优化问题的连续化。
• 基于连续松弛推导后验误差估计量，以指导分层加密。
• 提出一种分层加密算法，根据从连续形式导出的误差指标自适应地细化单元。

实验结果

研究问题

• RQ1 当光滑函数的三角形数量 N 趋于无穷时，逼近误差的渐近行为如何？
• RQ2 哪些函数类决定了逼近误差的衰减速率，并天然适合各向异性网格适配？
• RQ3 是否可以将三角剖分上的离散优化问题替换为等价的连续问题以提高可处理性？
• RQ4 是否可能通过分层加密策略生成一个近似最优的三角剖分序列？

主要发现

• 对于光滑函数，使用最优各向异性三角剖分时，L^2 范数下的逼近误差以 O(N^{-p/2}) 的速率衰减。
• 衰减速率由函数在加权索伯列夫空间中的正则性决定，正则性越高，收敛速度越快。
• 通过使用编码各向异性的黎曼度量，可有效将离散网格优化问题松弛为连续问题。
• 连续松弛为误差估计提供了理论基础，并指导了高效加密算法的设计。
• 所提出的分层加密算法生成的三角剖分在给定函数类下，其逼近误差被证明是近似最优的。
• 数值实验表明，该方法实现了最优收敛速率，并在具有方向性特征的问题上显著优于各向同性网格的精度。