[论文解读] Adaptive Finite Time Stability of Delayed Systems With Applications to Network Synchronization

Xiwei Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2020

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 28被引用 12

一句话总结

本文提出一种新颖的两阶段法（2PM），用于在存在无界或异步时滞的情况下，仅通过两个简单控制项实现时滞系统的有限时间稳定性（FnTSta），即使时滞无界或异步亦成立。该方法通过首先将误差范数从初始值驱动至1，再从1驱动至0，实现有限 settling 时间，从而建立自适应有限时间稳定性（AFnTSta），并实现复杂网络中具有无界时滞的有限时间外部同步。

ABSTRACT

The finite time stability (FnTSta) theory of delayed systems has not been set up until now. In this paper, we propose a two-phases-method (2PM), to achieve this object. In the first phase, we prove that the time for norm of system error evolving from initial values to 1 is finite; then in the second phase, we prove that the time for norm of the error evolving from 1 to 0 is also finite, thus FnTSta is obtained. Considering the cost and complexity of controller, we use only two simple terms to realize this aim. For the proposed 2PM, time delays can be the same or asynchronous, bounded or unbounded, etc; the norm can be $2$-norm, $1$-norm, $\infty$-norm, which show that 2PM is powerful and has a wide scope of applications. Furthermore, we also prove the adaptive finite time stability (AFnTSta) theory of delayed systems using 2PM. As an application of the obtained FnTSta theory, we consider the finite time outer synchronization (FnTOSyn) for complex networks with asynchronous unbounded time delays, corresponding criteria are also obtained. Finally, two numerical examples are given to demonstrate the validity of our theories.

研究动机与目标

• 建立时滞系统有限时间稳定性（FnTSta）理论，该问题此前未被解决。
• 设计一种不依赖时滞项的简单控制器，以实现FnTSta。
• 将理论扩展至具有未知或时变参数系统的自适应有限时间稳定性（AFnTSta）。
• 将理论应用于实现具有异步、无界时滞的复杂网络中的有限时间外部同步（FnTOSyn）。
• 通过基于李雅普诺夫的严格证明和数值例子验证理论框架。

提出的方法

• 提出一种两阶段法（2PM），将有限时间收敛过程解耦为两个独立阶段：首先将误差范数从初始值减少至1，然后从1减少至0。
• 在第一阶段使用时变李雅普诺夫函数 $ V_7(t) = \nu(t)\big\|p(t)\big\big\rfloor_{\text{max}} $，以确保误差范数在有限时间内收敛至1。
• 在第二阶段采用第二个李雅普诺夫函数 $ V_8(t) = \big\big\rfloor_{\text{max}} + \nu_2 t $，其中 $ \nu_2 > 0 $，以保证误差范数在有限时间内收敛至零。
• 通过如 $ \frac{1}{2d_1}(c_3(t) - c_3^*)^2 $ 等更新规则引入未知参数的自适应律，确保参数收敛与状态收敛同步进行。
• 将2PM框架应用于具有无界时滞的复杂网络，利用 $ \big\big\rfloor_{1} $-范数和 $ \big\big\rfloor_{\text{max}} $-范数李雅普诺夫函数，证明了有限时间外部同步。
• 使用微分不等式和基于上确界的李雅普诺夫函数处理时变和无界时滞，确保在不同类型的时滞下均具有鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在控制器中不使用时滞项的情况下，实现在时滞系统中的有限时间稳定性？
• RQ2 能否通过仅使用两控制项的简单控制器，确保具有无界或异步时滞系统的有限时间收敛？
• RQ3 如何为具有未知或时变参数及时间延迟的系统建立自适应有限时间稳定性？
• RQ4 所提出的方法能否保证在具有无界、异步时滞的复杂网络中实现有限时间外部同步？
• RQ5 在一般延迟条件下，不同范数（1-范数、∞-范数）在确保有限时间收敛中起什么作用？

主要发现

• 两阶段法（2PM）成功建立了具有无界、异步或有界时滞的时滞系统的有限时间稳定性（FnTSta）。
• 设定时间是有限的，且依赖于初始条件，系统在两个有限阶段内达到平衡：从初始范数到1，再从1到0。
• 即使参数未知或时变，仅通过两个控制项和自适应律，也实现了自适应有限时间稳定性（AFnTSta）。
• 利用2PM框架，证明了具有无界、异步时滞的复杂网络中有限时间外部同步（FnTOSyn）的存在性。
• 数值例子验证了理论结果，显示在所提出的控制律下，误差迅速在有限时间内收敛至零。
• 该方法在不同范数（1-范数、∞-范数、2-范数）下均表现出鲁棒性，展示了其在各种系统类型和延迟结构中的广泛应用性。