[论文解读] Additional symmetries of the KP-mKP hierarchy and Virasoro constraints to the Burgers-KdV hierarchy

Zongyao Feng, Lumin Geng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2026

Nonlinear Waves and Solitons被引用 0

一句话总结

本文为 KP-mKP 阶层导出一类 Fay 恒等式，构造其额外对称性，证明 Adler-Shiota-van Moerbeke 型公式，并利用这些建立 Burgers-KdV 系列及其高阶扩展的 Virasoro 约束。

ABSTRACT

A KP-mKP hierarchy was introduced recently via pseudo-differential operators containing two derivations. In this paper, for the KP-mKP hierarchy we derive a class of (differential) Fay identities and construct a series of additional symmetries. Moreover, the additional symmetries are represented as certain linear actions on the tau functions of the hierarchy, with the help of the Adler-Shiota-van Moerbeke formula. As an application, we reprove the Virasoro constraints to the tau functions of the Burgers-KdV hierarchy, and such results are generalized to its higher order extensions regarded as reductions of the KP-mKP hierarchy.

研究动机与目标

• 通过 KP-mKP 框架，促成 KP 与 mKP 之间对称性的统一理解。
• 为 KP-mKP 阶层发展 Fay 型恒等式，并研究 Baker-Akhiezer 与 tau 函数。
• 利用 Orlov-Schulman 算符构造一系列额外对称性，并在 tau 函数上实现。
• 推导 ASvM 公式，将 infinitesimal Baker-Akhiezer 变换与对称性生成元联系起来。
• 将对称性框架应用于在 KP-mKP 框架下恢复 Burgers-KdV 阶层及其高阶扩展的 Virasoro 约束。

提出的方法

• 引入对一个函数代数作用的两种导数的伪微分算子。
• 定义 KP-mKP 流与 Baker-Akhiezer/tau 函数形式化，涉及两个 tau 函数 tau1 与 tau2。
• 推导 KP-mKP 阶层的微分 Fay 恒等式。
• 基于 Orlov-Schulman 的额外对称性构造并证明 w_infty × w_infty 结构。
• 为 KP-mKP 阶层建立 Adler-Shiota-van Moerbeke 公式，并得到如式(1.1) 所示的对 tau 函数的线性作用。
• 利用对称性框架推导 Burgers-KdV 及其高阶约简的 Virasoro 约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 KP-mKP 阶层是否能够具备类似 KP 与 mKP 的统一额外对称性结构？
• RQ2 KP-mKP 阶层存在哪些 Fay 型恒等式，它们如何支配 tau 函数和 Baker-Akhiezer 函数？
• RQ3 Orlov-Schulman 算符如何产生额外对称性，它们如何通过 ASvM 型关系在 tau 函数上表达？
• RQ4 在 KP-mKP 框架下，所推导的对称性是否能为 Burgers-KdV 及其高阶约简提供 Virasoro 约束？

主要发现

• 为 KP-mKP 阶层确立了一类微分 Fay 恒等式。
• 两个 tau 函数 tau1 与 tau2 满足带有半时间变量的 KP 型双线性方程。
• 构造了 KP-mKP 阶层的额外对称性，通过 Orlov-Schulman 算符实现了 w_infty × w_infty 代数。
• 证明了 ASvM 公式，将 infinitesimal Baker-Akhiezer 变换与额外对称性生成元联系起来。
• 额外对称性对 tau 函数的作用是线性的，如式(1.1)所示，明确给出 W_{m,l}^{(ν)} 算符。
• 从 KP-mKP 对称性框架导出 Burgers-KdV 阶层及其高阶扩展的 Virasoro 约束。