[论文解读] Additive colorings of planar graphs

Tomasz Bartnicki, Bartłomiej Bosek+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2012

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 6被引用 12

一句话总结

本文证明了每个平面图均可使用至多 468 个不同的正整数实现加法着色，优于此前 5544 的上界。证明利用了组合零点定理和平面超图的着色数，对 3-可着色平面图和平面图围长至少为 13 的情况，分别得到了更紧的上界 36 和 4。

ABSTRACT

An \emph{additive coloring} of a graph $G$ is an assignment of positive integers $\{1,2,...,k\}$ to the vertices of $G$ such that for every two adjacent vertices the sums of numbers assigned to their neighbors are different. The minimum number $k$ for which there exists an additive coloring of $G$ is denoted by $η(G)$. We prove that $η(G)\leqslant 468$ for every planar graph $G$. This improves a previous bound $η(G)\leqslant 5544$ due to Norin. The proof uses Combinatorial Nullstellensatz and coloring number of planar hypergrahs. We also demonstrate that $η(G)\leqslant 36$ for 3-colorable planar graphs, and $η(G)\leqslant 4$ for every planar graph of girth at least 13. In a group theoretic version of the problem we show that for each $r\geqslant 2$ there is an $r$-chromatic graph $G_{r}$ with no additive coloring by elements of any Abelian group of order $r$.

研究动机与目标

• 改进平面图加法着色数 η(G) 的上界。
• 探讨色数与围长等结构约束对 η(G) 上界的紧致影响。
• 研究在有限交换群上是否存在加法着色。
• 考察在有限群上确定加法着色的复杂度。
• 解决关于 η(G) 与 χ(G)（色数）之间关系的猜想。

提出的方法

• 应用组合零点定理，通过群值赋值构造加法着色。
• 利用从二分平面图导出的平面超图的着色数，控制顶点着色中的依赖关系。
• 基于后继邻居约束的贪心顶点排序，分配群元素。
• 将问题简化为群大小两两互素的正常着色，以避免邻点和函数冲突。
• 利用分解定理，为特殊类（如围长 ≥13）构造显式着色。
• 通过从图着色问题约化，证明在阶数 ≥3 的交换群上，加法着色问题是 NP-完全的。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面图的加法着色数 η(G) 是否可独立于顶点数有上界？若可，最佳上界是多少？
• RQ2 每个 3-可着色平面图是否都可实现至多使用 36 个标签的加法着色？
• RQ3 是否存在阶数为 χ(G) + 1 的有限交换群，使得每个 r-色图均能实现加法着色？
• RQ4 判断图是否能在给定的有限交换群上实现加法着色的计算复杂度是多少？
• RQ5 每个围长至少为 13 的平面图是否满足 η(G) ≤ 4？

主要发现

• 每个平面图 G 的加法着色数 η(G) 不超过 468。
• 对于 3-可着色平面图，η(G) ≤ 36。
• 对于围长至少为 13 的平面图，η(G) ≤ 4。
• 存在一个 r-色图 Gr，其无法使用任何阶数为 r 的交换群元素实现加法着色。
• 在阶数 ≥3 的有限交换群上确定加法着色的问题是 NP-完全的。
• 在 Z₂ 上的加法着色问题可在多项式时间内求解，而当群阶数 ≥3 时则变为 NP-完全。