[论文解读] Adjacency Graphs of Polyhedral Surfaces

Elena Arseneva, Linda Kleist+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 2

一句话总结

本文研究了哪些图可以作为 R³ 中凸多面曲面的邻接图被实现。研究证明，虽然所有图都可以通过任意多边形面实现，但只有那些不包含 K₅、K₅,₈₁ 或非平面 3-树的图才能通过凸多边形面实现。关键结果表明，此类图的最大边数为 Ω(n log n) 和 O(n⁹/⁵)，表明其密度高于平面图但并非任意密集。

ABSTRACT

We study whether a given graph can be realized as an adjacency graph of the polygonal cells of a polyhedral surface in ℝ³. We show that every graph is realizable as a polyhedral surface with arbitrary polygonal cells, and that this is not true if we require the cells to be convex. In particular, if the given graph contains K_5, K_{5,81}, or any nonplanar 3-tree as a subgraph, no such realization exists. On the other hand, all planar graphs, K_{4,4}, and K_{3,5} can be realized with convex cells. The same holds for any subdivision of any graph where each edge is subdivided at least once, and, by a result from McMullen et al. (1983), for any hypercube. Our results have implications on the maximum density of graphs describing polyhedral surfaces with convex cells: The realizability of hypercubes shows that the maximum number of edges over all realizable n-vertex graphs is in Ω(n log n). From the non-realizability of K_{5,81}, we obtain that any realizable n-vertex graph has 𝒪(n^{9/5}) edges. As such, these graphs can be considerably denser than planar graphs, but not arbitrarily dense.

研究动机与目标

• 确定哪些图可以作为 R³ 中凸多面曲面的邻接图被实现。
• 识别凸多边形面实现性的结构障碍，例如禁止的子图。
• 建立凸多面曲面邻接图中最大边数的紧致渐近界限。
• 探索识别此类图的计算复杂性。
• 将该问题与图论中的更广泛问题联系起来，包括色数界限和接触表示。

提出的方法

• 通过提升多边形网格和抛物面嵌入，显式构造图作为凸多面曲面的几何实现。
• 应用 Kővari–Sós–Turán 定理，基于禁止子图的避免来界定边密度。
• 利用超立方体的可实现性，建立边密度的 Ω(n log n) 下界。
• 通过拓扑和组合约束，证明包含 K₅、K₅,₈₁ 或非平面 3-树的图不可实现。
• 利用 McMullen 等人（1983）关于超立方体实现的结果，推导出密度界限。
• 分析接触表示和多边形面排列，以表征凸邻接图的结构极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些图可以作为 R³ 中凸多面曲面的邻接图被实现？
• RQ2 一个图在三维空间中具有凸多边形面接触表示的必要和充分条件是什么？
• RQ3 具有 n 个面的凸多面曲面的邻接图中，可能的最大边数是多少？
• RQ4 识别此类图的问题是否计算上困难，例如是 NP-难的？
• RQ5 凸多面曲面邻接图的色数与其结构特性有何关系？

主要发现

• 所有图都可以通过任意多边形面作为多面曲面的邻接图被实现。
• 仅当图不包含 K₅、K₅,₈₁ 或任何非平面 3-树作为子图时，才能通过凸多边形面实现。
• 具有 n 个面的凸多面曲面的最大边数为 Ω(n log n)，这由 d 维超立方体的可实现性所证明。
• 最大边数为 O(n⁹/⁵)，这是由禁止子图 K₅,₈₁ 和 Kővari–Sós–Turán 定理推导出的。
• 平面图、K₄,₄、K₃,₅ 以及每条边至少进行一次细分的图的细分，均可通过凸多边形面实现。
• 存在一个无限族的凸多面曲面，其邻接图的平均度为 12 − o(1)，表明其具有高但有界的密度。