[论文解读] Adjoint cyclotomic multiple zeta values and cyclotomic multiple harmonic values

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 20被引用 14

一句话总结

本文引入了伴随型模 $p$ 多重 zeta 值（Ad $p$-MZV$_\mu_N$）与模 $p$ 多重谐波值（MHV$_\mu_N$），作为循环多重 zeta 值的 $p$-进与有限版本，建立了其与双重 shuffle、关联子及 Kashiwara-Vergne 关系的联系。主要贡献在于提出了一个关于 $p$-进与有限循环多重 zeta 值之间在 adelic 意义下的等价性猜想，通过权重与 Frobenius 滤子结构，将 $p$-进周期与有限 zeta 值联系起来。

ABSTRACT

We introduce adjoint cyclotomic multiple zeta values and cyclotomic multiple harmonic values. They are two variants of cyclotomic multiple zeta values, closely related to each other. They arise as key tools for the study of $p$-adic cyclotomic multiple zeta values. Moreover, cyclotomic multiple harmonic values provide an adelic lift to a cyclotomic generalization of finite multiple zeta values. We establish certain standard properties of these two objects. We consider two types of properties : some related to double shuffle relations, and some related to associator and Kashiwara-Vergne relations.

研究动机与目标

• 定义并研究伴随型循环多重 zeta 值与循环多重谐波值，作为循环多重 zeta 值的 $p$-进与有限版本。
• 建立其代数性质，包括双重 shuffle、关联子与 Kashiwara-Vergne 关系。
• 通过谐波多重 polylogarithm 框架，将有限多重 zeta 值的 adelic 上升推广至循环设定。
• 提出关于循环多重 zeta 值的 $p$-进与有限滤子之间等价性的猜想，从而在对数晶体上同调中联系 Frobenius 与 Hodge 滤子。

提出的方法

• 通过 $\mathbb{P}^1\setminus\{0,\mu_N,\infty\}$ 的仿射基本群族上的伴随作用，定义伴随型 $p$-进循环多重 zeta 值。
• 将循环多重谐波值引入为过收敛的 $p$-进迭代积分，推广有限多重 zeta 值。
• 通过非交换幂级数的 shuffle 乘积与反转方程，建立双重 shuffle 关系。
• 从伴随型多重 polylogarithm 与谐波型多重 polylogarithm 的结构中推导出关联子与 Kashiwara-Vergne 关系。
• 通过 $p$-进迭代积分模 $p$ 的约化，构造伴随型循环多重 zeta 值的有限版本。
• 利用动机 Galois 作用与权重滤子的框架，通过 Frobenius 作用将 $p$-进与有限 zeta 值联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 伴随型循环多重 zeta 值在 $p$-进设定下如何与双重 shuffle 与关联子关系关联？
• RQ2 循环多重谐波值在循环语境中作为有限多重 zeta 值的 adelic 上升，其作用是什么？
• RQ3 $p$-进与有限滤子的循环多重 zeta 值如何比较？其猜想等价性的意义何在？
• RQ4 有限循环多重 zeta 值在 Frobenius 作用与权重滤子下的结构如何？
• RQ5 Kashiwara-Vergne 方程能否被解释为循环设定下伴随型多重 zeta 值的性质？

主要发现

• 伴随型 $p$-进循环多重 zeta 值满足双重 shuffle 与 Kashiwara-Vergne 关系，推广了 $N=1$ 情形下的已知结果。
• 循环多重谐波值为有限多重 zeta 值的循环推广提供了 adelic 上升，且模 $p$ 约化定义良好。
• 有限循环多重 zeta 值 $\zeta_{f,\alpha}^{\operatorname{Ad}}$ 定义为过收敛谐波多重 polylogarithm 模 $p$ 的约化。
• 猜想指出，伴随型循环多重 zeta 值的 $p$-进与有限滤子是等价的，从而在对数晶体上同调中联系 Frobenius 与 Hodge 滤子。
• 在 $N=1$ 情形下，有限伴随型循环多重 zeta 值生成与有限多重 zeta 值相同的 $\mathbb{Q}$-向量空间，暗示可推广至更高 $N$。
• 有限双重 shuffle 与关联子方程被定义为相应 $p$-进方程的最低权分量，推广了文献中的已知结果。