[论文解读] ADM formulation and Hamiltonian analysis of Coincident General Relativity

Fabio D’Ambrosio, Mudit Garg+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用 12

一句话总结

本文对共时广义相对论（CGR）进行了ADM分解与哈密顿分析，CGR是基于非度规性而非曲率的广义相对论形式。结果表明，尽管边界项和规范条件的角色发生了改变，CGR仍恰好传播两个物理自由度，与标准广义相对论一致，暗示其在数值相对论和正则量子引力中具有潜在优势。

ABSTRACT

We consider a simpler geometrical formulation of General Relativity based on non-metricity, known as Coincident General Relativity. We study the ADM formulation of the theory and perform a detailed Hamiltonian analysis. We explicitly show the propagation of two physical degrees of freedom, as it should, even though the role of boundary terms and gauge conditions is significantly altered. This might represent an alternative promising new route for numerical relativity and canonical quantum gravity. We also give an outlook on the number of propagating degrees of freedom in non-linear extension of non-metricity scalar.

研究动机与目标

• 将共时广义相对论（CGR）重新表述为ADM 3+1形式，以适用于正则引力与数值相对论。
• 分析CGR的哈密顿结构，特别是非动力学度规因子与位移场引起的约束的性质与作用。
• 确定CGR中传播的自由度数量，并与标准广义相对论进行比较。
• 探讨CGR中边界项与规范条件的改变对正则量子化与数值演化的影响。
• 对非线性 $f(\mathcal{Q})$ 非度规性引力理论中的自由度进行初步评估。

提出的方法

• 采用共时规范，使仿射联络为零，将理论简化为基于非度规性标量 $\mathcal{Q}$ 的非度规性作用量。
• 通过ADM分解实现时空的3+1叶状结构，将度规表示为度规因子 $N$、位移因子 $N^i$ 与空间度规 $\gamma_{ij}$。
• 将非度规性张量投影到空间超曲面上，并通过分部积分将作用量重写为ADM变量的形式。
• 识别度规因子与位移因子为非动力学拉格朗日乘子，从而在哈密顿形式中产生四个初级约束。
• 应用狄拉克约束分析，将约束分类为第一类或第二类，并计算物理相空间的维数。
• 利用 $\mathcal{Q}$ 与里奇标量之间的对偶性，证明CGR的辛结构与标准广义相对论等价，尽管作用量之间相差一个边界项。

实验结果

研究问题

• RQ1 共时广义相对论的ADM形式与标准广义相对论的ADM形式在动力学变量与约束方面有何不同？
• RQ2 共时广义相对论中传播的物理自由度数量是多少？与标准广义相对论相比如何？
• RQ3 CGR中边界项与规范条件如何重新定义？这对物理哈密顿量与数值演化有何影响？
• RQ4 非线性 $f(\mathcal{Q})$ 引力中传播的自由度数量是多少？哪些约束决定了这一数量？
• RQ5 CGR中改变的约束结构是否可能为数值相对论或正则量子引力带来优势？

主要发现

• CGR恰好传播两个物理自由度，确认其与标准广义相对论的一致性，尽管其基于非度规性形式。
• CGR中的度规因子与位移因子生成四个初级约束，这些约束为第一类，从10个分量的度规配置空间中消除了八个自由度。
• 由于非度规性标量 $\mathcal{Q}$ 与里奇标量之间的对偶性，CGR的辛结构与标准广义相对论等价，尽管作用量之间相差一个边界项。
• 与标准广义相对论相比，CGR中边界项与规范条件的作用显著改变，导致物理哈密顿量不同，尽管动力学等价。
• 对于 $f(\mathcal{Q})$ 引力，分析表明唯一可行的传播自由度数量为六个，要求所有四个初级约束均为第二类。
• 对 $f(\mathcal{Q})$ 的微扰分析表明，$\psi$、$E$、$E^i$ 与 $h_{ij}$ 是唯一传播的模式，其中 $E^i$ 可能因在宇宙学背景上动能项消失而面临强耦合问题。