[论文解读] Admissible states and physical constraints preserving numerical schemes for special relativistic magnetohydrodynamics

Kailiang Wu, Huazhong Tang|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 31被引用 7

一句话总结

本文通过推导可允许状态集 𝒢 的显式等价形式，建立了狭义相对论磁流体动力学（RMHD）中物理约束保持（PCP）数值格式的数学基础。证明了 𝒢 的凸性，并在离散磁感应强度散度为零的条件下引入广义 Lax-Friedrichs 拆分性质，从而实现了在 1D 和 2D RMHD 中首个具有 CFL 条件下可证明物理一致性的高阶精度 PCP 格式。

ABSTRACT

The paper studies mathematical properties of the admissible state set $\mathcal G$ of relativistic magnetohydrodynamics(RMHD), paving a way for developing numerical schemes for RMHDs with the solutions in $\mathcal G$, referred as physical-constraints-preserving (PCP) schemes. To overcome the difficulties arising from the extremely strong nonlinearities and no explicit formulas of the primitive variables and the flux vectors with respect to the conservative vector, two equivalent forms of $\cal G$ with explicit constraints on the conservative vector are skillfully discovered. The first form is derived by analyzing polynomial roots and transferring successively, and used to prove the convexity of $\mathcal G$ with the aid of semi-positive definiteness of the second fundamental form of a hypersurface. While the second form is derived based on the convexity, and followed by the orthogonal invariance of $\cal G$. The Lax-Friedrichs (LxF) splitting property does not hold generally for the nonzero magnetic field, but by a constructive inequality and pivotal techniques, we discover the generalized LxF splitting properties, combining the convex combination of some LxF splitting terms with a discrete divergence-free condition of the magnetic field. Based on the above theoretical analyses, several one- and two-dimensional PCP schemes are studied for the first time. In the 1D case, a first-order accurate LxF type scheme is first proved to be PCP under the CFL condition, and then the high-order accurate PCP schemes are proposed with the PCP limiter. In the 2D case, the discrete divergence-free condition and PCP property are analyzed for a first-order accurate LxF type scheme, and followed by two sufficient conditions for high-order accurate PCP schemes. The current analyses reveal in theory for the first time that the discrete divergence-free condition is closely connected with the PCP property.

研究动机与目标

• 建立狭义相对论磁流体动力学（RMHD）中可允许状态集 𝒢 的数学结构，以确保数值解的物理有效性。
• 通过推导保守变量上的显式等价约束，克服 RMHD 中极端非线性以及原始变量和通量缺乏显式公式的问题。
• 利用超曲面的第二基本形式的半正定性，严格证明可允许状态集 𝒢 的凸性。
• 通过构建离散磁感应强度散度为零的条件，发展广义 Lax-Friedrichs 拆分性质，从而实现稳定且物理一致的数值格式。
• 构建首个一维和二维高阶精度的物理约束保持（PCP）格式，其稳定性与物理一致性可被严格证明。

提出的方法

• 通过分析多项式根并利用超曲面几何，推导出可允许状态集 𝒢 的两种等价显式形式，利用第二基本形式的半正定性证明其凸性。
• 利用 𝒢 的凸性，推导出第二种等价形式，该形式具有正交不变性，增强了结构清晰度与数值设计的便利性。
• 通过构造磁感应强度的离散散度为零条件，并将其与 LxF 项的凸组合相结合，提出广义 Lax-Friedrichs 拆分。
• 证明离散散度为零条件与 PCP 性质在理论上密切相关，为格式设计提供了关键洞见。
• 设计一维和二维的一阶 LxF 类格式，证明其在标准 CFL 条件下具有 PCP 性质，并利用 PCP 限制器将其扩展至一维高阶精度。
• 通过结合离散散度为零约束与重构及通量限制技术，建立二维高阶精度 PCP 格式的两个充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在狭义相对论磁流体动力学中，可允许状态集 𝒢 的显式、数学严谨的约束条件是什么？
• RQ2 尽管原始变量和通量缺乏显式公式，如何严格证明可允许状态集 𝒢 的凸性？
• RQ3 磁感应强度的离散散度为零条件在数值格式中如何影响物理约束的保持？
• RQ4 在磁感应强度非零的情况下，能否为 RMHD 构建广义 Lax-Friedrichs 拆分？标准 LxF 拆分在此类情况下为何失效？
• RQ5 在二维 RMHD 格式中，确保高阶精度同时保持物理约束的充分条件是什么？

主要发现

• 推导出可允许状态集 𝒢 的两种等价显式形式，使得即使在强非线性条件下，也能对其实现严格的数学结构分析。
• 通过超曲面第二基本形式的半正定性，严格证明了可允许状态集 𝒢 的凸性。
• 通过将 LxF 项的凸组合与磁感应强度的离散散度为零条件相结合，构建了广义 Lax-Friedrichs 拆分性质。
• 理论上证明了离散散度为零条件与物理约束保持性质密切相关，这是格式设计的关键洞见。
• 证明了一维的一阶 LxF 类格式在标准 CFL 条件下具有 PCP 性质，从而可通过 PCP 限制器实现高阶精度扩展。
• 推导出二维高阶精度 PCP 格式的两个充分条件，为构建多维稳定且物理一致的数值方法奠定了理论基础。