[论文解读] Affine braids, Markov traces and the category O

Rosa Orellana, Arun Ram|ArXiv.org|Jan 23, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用 13

一句话总结

本文建立了一个统一框架，将仿射 braid 群、量子群在范畴 O 中的表示以及通过函子 $F_\lambda$ 关联的链路不变量联系起来，该函子将 $U_h\mathfrak{g}$-模映射到仿射 braid 群 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$ 的表示。关键贡献在于证明了仿射 Hecke 代数的分解数由 Weyl 群的 Kazhdan-Lusztig 多项式给出，并且所有此类多项式均可作为广义分解数出现，从而将关于马尔可夫迹和 BGG 分解式的结果推广至所有李型。

ABSTRACT

This paper provides a unified approach to results on representations of affine Hecke algebras, cyclotomic Hecke algebras, affine BMW algebras, cyclotomic BMW algebras, Markov traces, Jacobi-Trudi type identities, dual pairs (Zelevinsky), and link invariants (Turaev). The key observation in the genesis of this paper was that the technical tools used to obtain the results in Orellana and Suzuki, two a priori unrelated papers, are really the same. Here we develop this method and explain how to apply it to obtain results similar to those in Orellana and Suzuki in more general settings. Some specific new results which are obtained are the following: (a) a generalization of the results on Markov traces obtained by Orellana to centralizer algebras coming from quantum groups of all Lie types, (b) a generalization of the results of Suzuki to show that Kazhdan-Lusztig polynomials of all finite Weyl groups occur as decomposition numbers in the representation theory of affine braid groups of type A, (c) a generalization of the functors used by Zelevinsky to representations of affine braid groups of type A, (d) a definition of the affine BMW-algebra (Birman-Murakami-Wenzl) and show that it has a representation theory analogous to that of affine Hecke algebras. In particular there are ``standard modules'' for these algebras which have composition series where multiplicites of the factors are given by Kazhdan-Lusztig polynomials for Weyl groups of types A,B,and C, (e) we generalize the results of Leduc and Ram on constructing representations of centralizer algebras to affine centralizer algebras.

研究动机与目标

• 通过共同的表示论框架统一仿射 Hecke 代数、马尔可夫迹和链路不变量的分散结果。
• 利用范畴 O 中的量子群表示，推广仿射 braid 群上的马尔可夫迹。
• 证明仿射 Hecke 代数的分解数对应于 Weyl 群的 Kazhdan-Lusztig 多项式，且与李型无关。
• 使用相同的函子机制构造仿射 BMW 代数的标准模与不可约模。
• 通过函子 $F_\lambda$ 将雅可比-特鲁迪恒等式和 BGG 分解式推广至仿射 braid 群模。

提出的方法

• 定义一个函子 $F_\lambda(M)$，将范畴 O 中的每个 $U_h\mathfrak{g}$-模 $M$ 通过 $M \otimes V^{\otimes k}$ 中的最高权向量，映射为仿射 braid 群 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$ 的有限维表示。
• 利用仿射 braid 群在 $M \otimes V^{\otimes k}$ 上的作用，当 $M$ 为 Verma 模或不可约模时，定义 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$ 的标准模与不可约模。
• 通过在 $F_\lambda$ 下拉 Verma 模的 Jantzen 分解式，构造标准模上的 Jantzen 分解式，将合成因子与 Kazhdan-Lusztig 多项式联系起来。
• 利用 $U_h\mathfrak{g}$-模上的迹构造仿射 braid 群上的马尔可夫迹，将已知的 Hecke、Temperley-Lieb 和循环代数迹作为特例恢复。
• 将不可约 $U_h\mathfrak{g}$-模的 BGG 分解式应用于对应 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$-模，获得其 BGG 分解式，并推导出其特征标的雅可比-特鲁迪恒等式。
• 利用多段的正规形式与 Weyl 群作用，对标准模进行参数化，并通过 Kazhdan-Lusztig 多项式计算分解数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个统一框架，以关联仿射 braid 群表示、量子群范畴 O 与链路不变量？
• RQ2 仿射 Hecke 代数的分解数与 Weyl 群的 Kazhdan-Lusztig 多项式之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 函子 $F_\lambda$ 是否可用于构造具有与仿射 Hecke 代数类似性质的仿射 BMW 代数的标准模与不可约模？
• RQ4 BGG 分解式与雅可比-特鲁迪恒等式如何从量子群推广至仿射 braid 群模？
• RQ5 哪些多项式可作为仿射 Hecke 代数表示的分解数？

主要发现

• 在定理 6.31 中表明，类型 A 的仿射 Hecke 代数标准模的分解数由对称群 $S_k$ 的 Kazhdan-Lusztig 多项式给出。
• 通过 Polo 的结果与命题 6.32，证明了所有属于 $1 + \mathbf{v} \mathbb{Z}_{\geq 0}[\mathbf{v}]$ 的多项式均可作为某对仿射 Hecke 代数模的分解数出现。
• 在适当条件下，函子 $F_\lambda$ 将 Verma 模映射为标准模，将不可约 $U_h\mathfrak{g}$-模映射为不可约 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$-模。
• 标准 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$-模上的 Jantzen 分解式对应于 Verma 模上的 Jantzen 分解式，其合成因子由 Kazhdan-Lusztig 多项式控制。
• 不可约 $U_h\mathfrak{g}$-模的 BGG 分解式诱导出对应 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$-模的 BGG 分解式，从而导出其特征标的雅可比-特鲁迪恒等式。
• 为所有李型 $\mathfrak{g}$ 构造了仿射 braid 群 $\widetilde{\mathcal{B}}_k$ 上的马尔可夫迹，将已知迹（如 Jones、Reshetikhin-Turaev）作为特例恢复。