[论文解读] Affine walled Brauer algebras

Hebing Rui, Yucai Su|arXiv (Cornell University)|May 2, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文将仿射墙式布伦纳代数引入为在含1的交换环上秩无限的结合代数，建立了其与一般线性李超代数 𝔤𝔪_{m|n} 之间的超舒尔-外尔对偶。主要贡献在于通过弱细胞结构与克列什切夫双分拆对不可约模和张量模的不可约直和项进行分类，其中二阶墙式布伦纳代数在特定条件下被实现为混合张量模的自同态代数。

ABSTRACT

A new class of associative algebras referred to as affine walled Brauer algebras are introduced. These algebras are free with infinite rank over a commutative ring containing 1. Then level two walled Brauer algebras over C are defined, which are some cyclotomic quotients of affine walled Brauer algebras. We establish a super Schur-Weyl duality between affine walled Brauer algebras and general linear Lie superalgebras, and realize level two walled Brauer algebras as endomorphism algebras of tensor modules of Kac modules with mixed tensor products of the natural module and its dual over general linear Lie superalgebras, under some conditions. We also prove the weakly cellularity of level two walled Brauer algebras, and give a classification of their irreducible modules over C. This in tur enables us to classify the indecomposable direct summands of the said tensor modules.

研究动机与目标

• 定义一类新的结合代数——仿射墙式布伦纳代数，作为墙式布伦纳代数的仿射化版本。
• 在 ℂ 上建立仿射墙式布伦纳代数与一般线性李超代数 𝔤𝔪_{m|n} 之间的超舒尔-外尔对偶。
• 在特定条件下，将二阶墙式布伦纳代数实现为包含 Kac 模、自然模及其对偶的混合张量模的自同态代数。
• 证明二阶墙式布伦纳代数的弱细胞结构，并在 ℂ 上对其不可约模进行分类。
• 利用该分类，确定 𝔤𝔲_{m|n} 对应张量模的不可约直和项。

提出的方法

• 通过含1的交换环上的26条定义关系定义仿射墙式布伦纳代数，推广了墙式布伦纳代数。
• 通过特定参数 p, q, m, n 构造二阶墙式布伦纳代数为仿射墙式布伦纳代数的循环商。
• 通过分析仿射墙式布伦纳代数与 𝔤𝔪_{m|n} 在混合张量模 V^{igotimes r} ⊗ K_λ ⊗ (V^*)^{igotimes t} 上的相互作用，建立两者之间的超舒尔-外尔对偶。
• 引入类似 Jucys-Murphy 的元素，并用于分析墙式布伦纳代数及其循环商的结构。
• 利用双分拆的组合数据与细胞模，证明二阶墙式布伦纳代数具有弱细胞结构。
• 使用克列什切夫双分拆对不可约模进行分类，其中参数 p−q 与 m,n 的条件决定了分类的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一类推广墙式布伦纳代数至仿射情形的新结合代数的结构是什么？
• RQ2 仿射墙式布伦纳代数与一般线性李超代数 𝔤𝔪_{m|n} 之间的超舒尔-外尔对偶是如何产生的？
• RQ3 在何种条件下，二阶墙式布伦纳代数可被实现为 Kac 模与自然模及其对偶的混合张量模的自同态代数？
• RQ4 在 ℂ 上，二阶墙式布伦纳代数的不可约模如何分类？其分类依赖于哪些参数？
• RQ5 不可约模的分类如何转化为 𝔤𝔩_{m|n} 张量模的不可约直和项的分类？

主要发现

• 仿射墙式布伦纳代数是在含1的交换环上自由的无限秩结合代数，由26条关系定义。
• 在 ℂ 上，仿射墙式布伦纳代数与一般线性李超代数 𝔤𝔪_{m|n} 之间存在超舒尔-外尔对偶。
• 当满足 r + t ≤ min{m, n} 时，二阶墙式布伦纳代数 𝔅_{r,t}^{p,q}(m,n) 可被实现为张量模 V^{igotimes r} ⊗ K_λ ⊗ (V^*)^{igotimes t} 的自同态代数。
• 二阶墙式布伦纳代数 𝔅_{r,t}^{p,q}(m,n) 具有弱细胞结构，从而可对其不可约模进行分类。
• 不可约模由对 (f, λ) 索引，其中 0 ≤ f ≤ min{r,t}，且 λ 是关于参数 u₁ = −p, u₂ = m−q 和 u₁ = q, u₂ = p−n 的克列什切夫双分拆。
• 当 r = t 且 ω₀ = ω₁ = 0 时，索引集排除 f = r；当 p−q ∉ ℤ 时，所有双分拆均为克列什切夫型，从而导致不可约直和项。