[论文解读] Algebraic Algorithms for b-Matching, Shortest Undirected Paths, and f-Factors

Harold N. Gabow, Piotr Sankowski|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用 10

一句话总结

本论文提出了无向图中 $f$-因子与 $b$-匹配问题的首个高效代数算法，采用一种新颖的符号矩阵构造与随机消去法，实现最大权 $f$-因子的 $\tilde{O}(Wf(V)^\omega)$ 时间复杂度，其中 $\omega < 2.3727$。该方法将图灵的矩阵构造推广至 $f$-因子，并通过代数技术实现无向图中保守图的高效最短路径计算。

ABSTRACT

Let G=(V,E) be a graph with f:V o Z_+ a function assigning degree bounds to vertices. We present the first efficient algebraic algorithm to find an f-factor. The time is ilde{O}(f(V)^ω). More generally for graphs with integral edge weights of maximum absolute value W we find a maximum weight f-factor in time ilde{O}(Wf(V)^ω). (The algorithms are randomized, correct with high probability and Las Vegas; the time bound is worst-case.) We also present three specializations of these algorithms: For maximum weight perfect f-matching the algorithm is considerably simpler (and almost identical to its special case of ordinary weighted matching). For the single-source shortest-path problem in undirected graphs with conservative edge weights, we present a generalization of the shortest-path tree, and we compute it in ilde{O(Wn^ω) time. For bipartite graphs, we improve the known complexity bounds for vertex capacitated max-flow and min-cost max-flow on a subclass of graphs.

研究动机与目标

• 开发无向图中 $f$-因子与 $b$-匹配问题的首个高效代数算法。
• 通过使用紧凑的 $\phi \times \phi$ 符号矩阵（其元素属于 $\{\pm1\}$）将图灵的矩阵构造推广至 $f$-因子，避免产生庞大的中间表示。
• 利用代数技术实现最大权 $f$-因子与保守无向图中最短路径的高效计算。
• 通过利用普通匹配的结构相似性，统一并简化 $b$-匹配与 $f$-因子的算法。
• 为使用代数方法求解密集图中的最大流与最短路径等问题提供一个框架，实现更优的渐近时间复杂度。

提出的方法

• 使用变量 $z$ 和随机变量构造一个 $\phi \times \phi$ 的符号矩阵 $B(G)$ 来表示 $f$-因子，其中 $\phi = f(V)$，以 $\pm1$ 系数表示边的贡献。
• 在满足 $p = \Theta(\phi^3)$ 的素数域 $\mathbb{Z}_p$ 上使用随机消去法计算 $B(G)$ 的行列式与伴随矩阵，利用快速矩阵乘法（指数 $\omega < 2.3727$）。
• 通过在 $z$ 上的次数分析提取最大 $f$-因子的权重，即利用 $\deg_z(\det(B))$ 与 $\deg_z(\operatorname{adj}(B)_{i,j})$，以高概率保证正确性。
• 构造辅助图 $G^*$ 与 $G^v$，通过行列式与伴随矩阵计算，实现对 $f^v$-因子（即排除顶点 $v$ 的 $f$-因子）权重的隔离与计算。
• 通过为边的副本分配权重并将矩阵元素扩展为包含 $z^{w(e,k)}$ 项，将该框架推广至多重图。
• 利用该代数框架，通过代数方法构造广义最短路径树，实现在保守无向图中单源最短路径的 $\tilde{O}(Wn^\omega)$ 时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种紧凑的符号矩阵表示来表示 $f$-因子，避免图灵或洛瓦兹矩阵带来的大小爆炸，从而实现更快的代数计算？
• RQ2 是否能通过代数技术实现 $\tilde{O}(Wf(V)^\omega)$ 时间复杂度的最大权 $f$-因子计算，即使在非二分图中也成立？
• RQ3 能否通过代数方式利用 $f$-因子的结构，实现保守无向图中最短路径的计算，从而绕过对有向图的归约？
• RQ4 能否通过利用 $b$-匹配与普通匹配之间的结构相似性（特别是当 $b \equiv 1$ 时）来简化其代数框架？
• RQ5 能否将缩放技术与代数方法结合，进一步提升最大流与 $f$-因子算法的运行时间？

主要发现

• 本论文首次提出 $f$-因子的代数算法，其时间复杂度为 $O(f(V)^\omega)$（无权情形），优于稠密图中先前的 $O(\sqrt{f(V)}m)$ 上界。
• 对于边权为绝对值 $\leq W$ 的整数的最重 $f$-因子，该算法的运行时间为 $\tilde{O}(Wf(V)^\omega)$，与加权匹配的最佳已知上界一致。
• 在保守无向图中计算单源最短路径的算法运行时间为 $\tilde{O}(Wn^\omega)$，为该问题提供了全新的代数方法，且该问题尚未有已知的有向图归约方法。
• 广义最短路径树的存在性已得到证明，并可通过代数技术高效计算。
• 该框架通过利用代数 $f$-因子机制，为顶点容量最大流与最小费用最大流在一类图上的求解提供了更优的渐近界。
• 论文证明，通过在 $z$ 上对特别构造的 $\phi \times \phi$ 矩阵的行列式与伴随矩阵进行次数分析，可高概率地提取最大 $f$-因子的权重。