[论文解读] Algebraic formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic weak Maass forms

Jan Hendrik Bruinier, Ken Ono|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文建立了一个关于分拆函数 $ p(n) $ 的有限代数公式，作为通过从权 $-2$ 的弱Maass形式经theta提升构造的权 $-1/2$ 的谐弱Maass形式的奇异模的迹之和。系数 $ p(n) $ 被证明为位于判别式为 $-24n+1$ 的类数环中的代数数的有理函数，且显式公式涉及模形式与奇异模，为Rademacher的精确公式提供了新的代数解释。

ABSTRACT

We prove that the coefficients of certain weight -1/2 harmonic Maass forms are traces of singular moduli for weak Maass forms. To prove this theorem, we construct a theta lift from spaces of weight -2 harmonic weak Maass forms to spaces of weight -1/2 vector-valued harmonic weak Maass forms on Mp_2(Z), a result which is of independent interest. We then prove a general theorem which guarantees (with bounded denominator) when such Maass singular moduli are algebraic. As an example of these results, we derive a formula for the partition function p(n) as a finite sum of algebraic numbers which lie in the usual discriminant -24n+1 ring class field. We indicate how these results extend to general weights. In particular, we illustrate how one can compute theta lifts for general weights by making use of the Kudla-Millson kernel and Maass differential operators.

研究动机与目标

• 将分拆函数 $ p(n) $ 表示为权 $-1/2$ 的谐弱Maass形式的奇异模的代数数之有限和。
• 从权 $-2$ 的谐Maass形式构造到 $\mathrm{Mp}_2(\mathbb{Z})$ 上的权 $-1/2$ 向量值形式的theta提升，此结果本身具有独立兴趣。
• 证明奇异模 $ P(\alpha_Q) $ 为判别式 $-24n+1$ 的类数环中的代数数，且分母有界。
• 提供一种通过这些代数奇异模的数值近似来计算 $ p(n) $ 的算法方法。

提出的方法

• 使用Eisenstein级数与Dedekind eta函数在 $ \Gamma_0(6) $ 上构造一个权 $-2$ 的亚纯模形式 $ F(z) $。
• 将弱Maass形式 $ P(z) $ 定义为 $ F(z) $ 的非全纯导数，其在权 0 下变换，并满足 $ \Delta P = -2P $。
• 使用theta提升将 $ F(z) $ 映射到权 $-1/2$ 的向量值谐弱Maass形式，从而在CM点 $ \alpha_Q $ 处构造奇异模 $ P(\alpha_Q) $。
• 定义迹 $ \mathrm{Tr}(n) = \sum_{Q \in \mathcal{Q}_n} P(\alpha_Q) $，其中 $ \mathcal{Q}_n $ 是判别式为 $-24n+1$ 且满足 $ a \equiv 0 \pmod{6} $ 的二元二次型在 $ \Gamma_0(6) $ 下的等价类集合。
• 证明 $ p(n) = \mathrm{Tr}(n)/(24n-1) $，且 $ 6(24n-1)P(\alpha_Q) $ 为代数整数。
• 利用模形式性质与傅里叶展开，证明 $ P(\alpha_Q) $ 属于判别式 $-24n+1$ 的类数环，且多项式 $ H_n(x) $ 为有理系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有 $ Q \in \mathcal{Q}_n $，$ (24n-1)P(\alpha_Q) $ 是否为代数整数？
• RQ2 分拆多项式 $ H_n(x) = \prod_{Q \in \mathcal{Q}_n} (x - P(\alpha_Q)) $ 的不可约性如何？
• RQ3 是否存在 $ H_n(x) $ 的常数项的闭式表达，类似于Gross-Zagier公式对 $ j $-奇异模的表达？
• RQ4 奇异模 $ P(\alpha_Q) $ 是否满足特殊同余性质，从而可解释Ramanujan关于模5、7、11的分拆同余？

主要发现

• 分拆函数 $ p(n) $ 精确等于 $ \mathrm{Tr}(n)/(24n-1) $，其中 $ \mathrm{Tr}(n) $ 是对判别式为 $-24n+1$ 且满足 $ a \equiv 0 \pmod{6} $ 的正定二元二次型在 $ \Gamma_0(6) $ 下的等价类之 $ P(\alpha_Q) $ 的和。
• 值 $ P(\alpha_Q) $ 为位于判别式 $-24n+1$ 的类数环中的代数数，且 $ 6(24n-1)P(\alpha_Q) $ 为代数整数。
• 当 $ n=1 $ 时，分拆多项式为 $ H_1(x) = x^3 - 23x^2 + \frac{3592}{23}x - 419 $，且 $ p(1) = 1 $，通过奇异模的数值计算得到验证。
• 当 $ n=2 $ 时，$ H_2(x) $ 的次数为5，系数含47，且 $ (24n-1)p(n) = 94 $，多项式属于 $ \mathbb{Q}[x] $。
• 当 $ n=3 $ 时，$ H_3(x) $ 的次数为7，系数属于 $ \mathbb{Q} $，且 $ (24n-1)p(n) = 213 $，常数项为 $ \frac{2791651635293}{71^2} $。
• 该方法提供了一种通过代数奇异模的数值近似来计算 $ p(n) $ 的新算法，且 $ H_n(x) $ 编码了 $ P(\alpha_Q) $ 的完整伽罗瓦轨道结构。