[论文解读] Algebraic K-theory and properly infinite C*-algebras

Guillermo Cortiñas⋆, N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

Advanced Operator Algebra Research被引用 3

一句话总结

该论文证明了关于与紧算子C*-代数张量积的代数K-理论结果可推广至与任意纯无穷C*-代数张量积的情形。通过M2-稳定性及O⊗K中的角嵌入，作者证明了代数K-理论与拓扑K-理论之间的比较映射是同构，并且对于此类张量积，KH-理论与循环同调满足Bott周期性，从而将已知的K-理论结果从K推广至任意纯无穷O。

ABSTRACT

We show that several known results about the algebraic K-theory of tensor products of algebras with the C*-algebra of compact operators in Hilbert space remain valid for tensor products with any properly infinite C*-algebra.

研究动机与目标

• 将关于与紧算子C*-代数张量积的代数K-理论已知结果推广至与任意纯无穷C*-代数张量积的情形。
• 证明对于任意C*-代数A和纯无穷C*-代数O，代数K-理论到拓扑K-理论的比较映射K∗(A⊗O) → Ktop∗(A⊗O)是同构。
• 确立对于形如L⊗O的代数（其中L为局部凸代数，O为纯无穷）的KH-理论与循环同调满足Bott周期性。
• 证明M2-稳定函子作用于O⊗K时，通过角嵌入产生同构，从而将K-理论的稳定性结果从K推广至O。

提出的方法

• 证明对任意M2-稳定函子E，角嵌入j: O → O⊗K诱导同构E(j)，方法是利用O中无穷多等距算子构造同伦等价。
• 利用存在一个纯无穷C*-代数O，其包含一族等距算子(un)和一个部分等距算子v，定义同态ψ: O⊗K → O⊗K，使得E(ψ) = id。
• 应用Karoubi-Suslin-Wodzicki定理，即K∗(A⊗K) → Ktop∗(A⊗K)是同构，通过同构E(j)推导出K∗(A⊗O) → Ktop∗(A⊗O)是同构。
• 利用K-理论与Kinf-理论的微分同伦不变性及局部性，证明L⊗O是Kinf-正则的，从而推出KH-理论的Bott周期性。
• 通过结合幂零K-理论的长正合列与同构ν∗: Knil∗(M) → HC∗−1(M)，构造包含Ktop∗(L⊗O)、K∗(L⊗O)与HC∗(L⊗O)的六项正合列。
• 利用同构µ: K⊗K → K(ℓ2×ℓ2)，证明KH∗(A⊗O⊗K)是Z[t,t−1]-模，从而推出KH∗(A⊗O)满足Bott周期性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当O为任意纯无穷C*-代数而非仅K时，比较映射K∗(A⊗O) → Ktop∗(A⊗O)是否仍为同构？
• RQ2 能否将关联K∗、Ktop∗与HC∗的六项正合列从K推广至任意纯无穷O？
• RQ3 对于A⊗O的KH-理论是否与K∗(A⊗O)同构且具有周期性，如同K的情形？
• RQ4 M2-稳定性是否意味着角嵌入j: O → O⊗K在任意纯无穷O上诱导K-理论的同构？
• RQ5 当O为纯无穷时，A⊗O的Kinf-正则性是否保持，从而在KH-理论中实现Bott周期性？

主要发现

• 对任意C*-代数A与任意纯无穷C*-代数O，比较映射K∗(A⊗O) → Ktop∗(A⊗O)是同构。
• 对任意具有有界逼近单位元的局部乘法凸弗雷歇代数L，映射K∗(L⊗O) → Ktop∗(L⊗O)是同构。
• 对任意局部凸代数L与纯无穷O，存在自然的六项正合列关联Ktop∗(L⊗O)、K∗(L⊗O)与HC∗(L⊗O)。
• KHn(A⊗O)在n为偶数时自然同构于K0(A⊗O)，在n为奇数时自然同构于K−1(A⊗O)，从而确立KH-理论的Bott周期性。
• 代数A⊗O是Kinf-正则的，这意味着对所有n ≤ 0，映射Kn(A⊗O) → KHn(A⊗O)是同构。
• A⊗O的KH-理论满足Bott周期性，因为其通过K⊗K的张量积结构同构于Z[t,t−1]-模。