[论文解读] Algebraic number fields generated by Frobenius-Perron dimensions in fusion rings

Terry Gannon, Andrew Schopieray|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用 6

一句话总结

本文证明了融合环可由初等阿贝尔2-群实现维度分次，从而为模张量范畴的乘法中央电荷提供界，并引入与由弗罗贝尼乌斯-佩尔松维数生成的代数数域相关的伽罗瓦不变子群。关键结果是中央电荷的阶受由弗罗贝尼乌斯-佩尔松维数生成的域的伽罗瓦群指数的约束，该结果将早期结果推广至任意数域。

ABSTRACT

From a unifying lemma concerning fusion rings, we prove a collection of number-theoretic results about fusion, braided, and modular tensor categories. First, we prove that every fusion ring has a dimensional grading by an elementary abelian 2-group. As a result, we bound the order of the multiplicative central charge of arbitrary modular tensor categories. We also introduce Galois-invariant subgroups of the Witt group of nondegenerately braided fusion categories corresponding to algebraic number fields generated by Frobenius-Perron dimensions. Lastly, we provide a complete description of the fields generated by the Frobenius-Perron dimensions of simple objects in $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$, the modular tensor categories arising from the representation theory of quantum groups at roots of unity, as well as the fields generated by their Verlinde eigenvalues.

研究动机与目标

• 理解融合环中由弗罗贝尼乌斯-佩尔松维数生成的代数数域及其对张量范畴的影响。
• 通过关于FP-维数的新引理，将融合环的维度分次推广至弱整数情形之外。
• 利用伽罗瓦群指数界定模张量范畴中乘法中央电荷的阶。
• 定义并研究与由FP-维数生成的代数数域相关的Witt群的伽罗瓦不变子群。
• 完全描述量子群范畴 $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ 中FP-维数与韦尔林德特征值生成的域。

提出的方法

• 利用一个统一的引理，确保在融合环中，对非负整数组合有 $\mathbb{Q}(\mathrm{FPdim}(x_1)), \mathbb{Q}(\mathrm{FPdim}(x_2)) \subseteq \mathbb{Q}(\mathrm{FPdim}(x_1 + x_2))$。
• 利用该引理证明融合环被 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}_1 / \mathbb{K}_0)$ faithful 分次，该群为初等阿贝尔2-群。
• 应用伽罗瓦理论技术，以 $\mathrm{Gal}(\mathbb{L}_{\mathbbm{1}} / \mathbb{Q})$ 的指数为基准，界定模张量范畴中乘法中央电荷 $\xi(\mathcal{C})$ 的阶。
• 定义新不变量 $\Phi([\mathcal{C}])$ 为所有与非退化辫子范畴Witt等价的 $\mathbb{K}_0$ 的交集，并证明 $\mathcal{W}_{\mathbb{K}}$ 是Witt群的伽罗瓦不变子群。
• 计算 $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ 的 $\mathbb{K}_0, \mathbb{K}_1$，并证明 $\mathbb{K}_0 = \mathbb{Q}_n$ 对某个 $n$ 成立，且在伪酉情形下 $\mathbb{K}_1 = \mathbb{K}_0$。
• 利用欧拉函数的数论约束，排除 $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ 中 $\mathbb{Q}_n$-扩张的某些伽罗瓦群指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个融合环是否都可被初等阿贝尔2-群实现维度分次？这如何改进关于弱整数融合环的先前结果？
• RQ2 能否利用由弗罗贝尼乌斯-佩尔松维数生成的域的伽罗瓦群，界定模张量范畴中乘法中央电荷 $\xi(\mathcal{C})$ 的阶？
• RQ3 对于任意代数数域 $\mathbb{K}$，由 $\Phi([\mathcal{C}]) \subset \mathbb{K}$ 定义的子群 $\mathcal{W}_{\mathbb{K}} \subset \mathcal{W}$ 是否为Witt群的伽罗瓦不变子群？
• RQ4 在 $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ 中，由弗罗贝尼乌斯-佩尔松维数生成的精确域 $\mathbb{K}_0$ 和 $\mathbb{K}_1$ 是什么？它们与分圆域有何关系？
• RQ5 对于哪些素幂 $N = p^b$，存在一个模张量范畴 $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$，使得其伽罗瓦群指数为 $N$？

主要发现

• 每个融合环都被一个同构于 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}_1 / \mathbb{K}_0)$ 的初等阿贝尔2-群 faithful 分次，推广了对弱整数融合环的先前结果。
• 模张量范畴的乘法中央电荷 $\xi(\mathcal{C})$ 是单位根，其阶整除 $f(2N)/3$，其中 $N$ 是 $\mathrm{Gal}(\mathbb{L}_{\mathbbm{1}} / \mathbb{Q})$ 的指数。
• 在伪酉范畴中，中央电荷的阶整除 $2f(2N)/3$，其中 $N$ 是 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}_0 / \mathbb{Q})$ 的指数，将早期结果推广至任意数域。
• $\mathcal{W}_{\mathbb{K}} = \{[\mathcal{C}] \in \mathcal{W} : \Phi([\mathcal{C}]) \subset \mathbb{K}\}$ 对任意代数数域 $\mathbb{K}$ 都是Witt群 $\mathcal{W}$ 的伽罗瓦不变子群。
• 对于 $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$，由弗罗贝尼乌斯-佩尔松维数生成的域 $\mathbb{K}_0$ 为 $\mathbb{Q}_n$（对某个 $n$），且在伪酉情形下 $\mathbb{K}_1 = \mathbb{K}_0$。
• 若对任意 $1 \leq a \leq b$，$2p^a + 1$ 都不是素数，则不存在 $\mathcal{C}(\mathfrak{g},k)$ 使得其伽罗瓦群指数为 $N = p^b$，表明对实现实现存在强烈的数论约束。