[论文解读] Algebraic Presentations of Dependent Type Theories

Valery Isaev|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文將代數依賴類型理論定義為本質代數理論，透過此類理論的範疇，實現可組合且結構化的類型理論定義。本文建立模型與額外結構的上下文範疇之間的對應關係，並展示如何透過範疇的餘極限與函子，系統性地結合與分析構造如 universes 和 identity types。

ABSTRACT

In this paper, we propose an abstract definition of dependent type theories as essentially algebraic theories. One of the main advantages of this definition is its composability: simple theories can be combined into more complex ones, and different properties of the resulting theory may be deduced from properties of the basic ones. We define a category of algebraic dependent type theories which allows us not only to combine theories but also to consider equivalences between them. We also study models of such theories and show that one can think of them as contextual categories with additional structure.

研究动机与目标

• 提供一個一般且抽象的依賴類型理論定義，涵蓋現有的變體，並支援組合式推理。
• 解決傳統類型理論定義中缺乏組合性的問題，其中 Π、Σ 和 Id 類型等構造無法獨立組合。
• 透過將語法上的模糊性（如應用中省略的參數或有類型與無類型等式）與核心結構性質分離，解決這些問題。
• 使用範疇同構與 Morita 等價形式化不同類型理論之間的等價性，實現理論間性質的傳遞。
• 定義一個函子 U，用以構造一個包含所有給定理論運算的封閉類型層級，最終以 U^ω(𝕋) 作為極限構造。

提出的方法

• 定義部分 Horn 理論的範疇，以形式化具有運算與推理規則的類型理論語法。
• 將這些理論的模型表示為具有額外結構的上下文範疇，並證明初始理論的模型恰好是上下文範疇。
• 引入代數依賴類型理論作為預穩定與穩定理論，其中取代運算與運算符交換，支援切片構造。
• 在代數依賴類型理論的範疇上構造一個函子 U，以增加一個封閉所有原始理論函數符號的類型。
• 透過擴展 𝕋 以新增符號：U（類型）、El（成員關係）與 σ^U（類型封閉運算），定義 U(𝕋)，並以公理確保正確的類型與行為。
• 使用餘極限定義 U^ω(𝕋) 為序列 𝕋 → U(𝕋) → U²(𝕋) → ... 的極限，從而獲得一個具有累積類型層級的理論。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否發展出一個一般且可組合的框架，用於依賴類型理論，使 Π、Σ 和 Id 類型等基本構造能組合成更複雜的理論？
• RQ2 如何抽象掉語法上的差異（如應用中省略的參數或有類型與無類型等式），同時保留核心的類型理論性質？
• RQ3 不同定義方式的同一類型構造（例如，透過投影或消去規則定義的 Σ 類型）在結構化、範疇論意義下是否等價？
• RQ4 代數依賴類型理論的模型能否系統性地特徵化？它們是否自然對應於具有額外結構的上下文範疇？
• RQ5 類型理論中的類型層級扮演何種角色？能否以統一且範疇論的方式，構造一個對所有運算封閉的類型層級？

主要发现

• 代數依賴類型理論的範疇支援餘極限，允許將複雜理論構造為較簡單理論的併集，例如 T_Σ ⊔ T_Π ⊔ T_Id，用於具有 Σ、Π 和 Id 類型的理論。
• 初始代數依賴類型理論的模型恰好是上下文範疇，確立了代數語法與範疇語義之間的基礎連結。
• 任何代數依賴類型理論的模型都是具有由理論運算與公理所決定的額外結構的上下文範疇。
• 函子 U 將任何代數依賴類型理論 𝕋 映射至一個理論 U(𝕋)，其中包含對 𝕋 所有函數符號封閉的類型，並保留類型與運算行為。
• 透過序列 𝕋 → U(𝕋) → U²(𝕋) → ... 的餘極限構造 U^ω(𝕋)，可獲得一個具有累積類型層級的理論，且對原始理論的所有運算封閉。
• 代數方法允許透過同構與 Morita 等價形式化理論之間的等價性，且 U(𝕋) 提供了一種將 𝕋 唯一嵌入至類型封閉理論的標準方式。