[论文解读] Algorithmic and Complexity Results for Cutting Planes Derived from Maximal Lattice-Free Convex Sets

Amitabh Basu, Robert Hildebrand+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2011

Optimization and Packing Problems参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文利用最大格点自由凸集，为混合整数规划中的最优割平面提供了多项式时间算法。证明了当两个整数变量时，松弛角多面体的面数为多项式，从而可通过显式、可测试的条件而非复杂约化方法，实现割平面的高效枚举与优化。

ABSTRACT

We study a mixed integer linear program with m integer variables and k non-negative continuous variables in the form of the relaxation of the corner polyhedron that was introduced by Andersen, Louveaux, Weismantel and Wolsey [Inequalities from two rows of a simplex tableau, Proc. IPCO 2007, LNCS, vol. 4513, Springer, pp. 1--15]. We describe the facets of this mixed integer linear program via the extreme points of a well-defined polyhedron. We then utilize this description to give polynomial time algorithms to derive valid inequalities with optimal l_p norm for arbitrary, but fixed m. For the case of m=2, we give a refinement and a new proof of a characterization of the facets by Cornuejols and Margot [On the facets of mixed integer programs with two integer variables and two constraints, Math. Programming 120 (2009), 429--456]. The key point of our approach is that the conditions are much more explicit and can be tested in a more direct manner, removing the need for a reduction algorithm. These results allow us to show that the relaxed corner polyhedron has only polynomially many facets.

研究动机与目标

• 开发从最大格点自由凸集中生成强割平面的算法工具。
• 提供显式、可测试的面定义不等式条件，取代基于复杂约化的算法方法。
• 证明当 m=2 时，松弛角多面体的面数为多项式。
• 为固定 m 设计寻找具有最小 l_p 范数割平面的高效算法。
• 将结构洞察与算法效率统一，以实现整数规划中的实际应用。

提出的方法

• 论文使用 conv(R_f) 的阻塞多面体来描述所有有效不等式，从而实现多项式时间计算。
• 通过具有多项式数量面的明确定义多面体的极点，刻画面定义不等式。
• 对于固定 m，将 l_p-范数割平面的优化表述为具有多项式数量约束的线性规划。
• 当 m=2 时，将最大格点自由凸集分类为五类，并证明仅多项式数量的类型与面相关。
• 提供了一种新的、直接的面条件刻画方式，避免了迭代约化算法的需求。
• 该方法利用几何对偶性以及格点自由集的闵可夫斯基泛函，推导出显式不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定 m，松弛角多面体的面数能否被多项式有界？
• RQ2 面定义不等式能否通过显式、可测试的条件刻画，而非依赖算法约化？
• RQ3 对于固定 m，能否在多项式时间内计算出最优割平面（最小 l_p 范数）？
• RQ4 最大格点自由集的结构特性如何与 conv(R_f) 的面结构相关联？
• RQ5 能否在保持理论严谨性的同时，使割平面理论具备算法高效性？

主要发现

• 当 m=2 时，conv(R_f) 的面数在输入规模上为多项式，解决了关键复杂性问题。
• 对于任意固定 m，根据 l_p 范数的最优割平面可在多项式时间内计算。
• l_1 和 l_∞ 范数情形可归约为求解具有多项式数量约束的线性规划。
• 提供了一种新的、直接的面定义不等式刻画方式，取代了对复杂约化算法的需求。
• 证明表明，对于 m=2，仅需考虑每类中多项式数量的最大格点自由集。
• 存在一个多项式时间算法，可利用改进的必要条件枚举出当 m=2 时 conv(R_f) 的所有面。