[论文解读] All correlation functions of the open XXX spin 1/2 quantum chains for unparallel boundary magnetic fields with one constraint

Giuliano Niccoli|arXiv (Cornell University)|May 17, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 133被引用 6

一句话总结

本文提出了一套框架，用于计算具有非平行边界磁场的开放XXX自旋-1/2链中的关联函数，利用量子分离变量法（SoV）推导边界-体分解及局部算符对分离态的作用。关键结果是：非平行磁场下的关联函数可通过变换简化为平行磁场链的关联函数，从而获得与已知对角边界情况类似的多重积分公式。

ABSTRACT

In this first paper, we start the analysis of correlation functions of quantum spin chains with general integrable boundary conditions. We initiate these computations for the open XXX spin 1/2 quantum chains with some unparallel magnetic fields allowing for a spectrum characterization in terms of homogeneous Baxter like TQ-equations, in the framework of the quantum separation of variables (SoV). Previous SoV analysis leads to the formula for the scalar products of the so-called separate states. Here, we solve the remaining fundamental steps allowing for the computation of correlation functions. In particular, we rederive the ground state density in the thermodynamic limit thanks to SoV approach, we compute the so-called boundary-bulk decomposition of boundary separate states and the action of local operators on these separate states in the case of unparallel boundary magnetic fields. These findings allow us to derive multiple integral formulae for these correlation functions similar to those previously known for the open XXX quantum spin chain with parallel magnetic fields.

研究动机与目标

• 将关联函数的计算扩展至具有非对角、非平行边界磁场的开放XXX自旋-1/2链。
• 克服在边界矩阵不交换的情况下缺乏参考态及非平凡边界代数的挑战。
• 通过规范变换建立非平行与平行边界磁场情况下关联函数之间的联系。
• 在SoV和TQ-方程结构的基础上，为最一般无约束的非对角边界情况提供完整的关联函数解析框架。

提出的方法

• 利用量子分离变量（SoV）框架，通过带额外项的非均匀TQ-方程刻画谱结构。
• 推导边界-体分解的边界分离态，使局部算符的作用可转化为对体态类似的形式。
• 引入使用算符 $ \Gamma_W $ 的规范变换，定义与总 $ \sigma^z $-算符对易的准局部算符 $ \bar{E}_{1,m} $。
• 应用分离态的标量积公式，计算SoV基中局部算符的矩阵元。
• 依赖于在特定约束下非平行与平行边界情况之间的同谱性，使已知的积分公式得以转移。
• 利用转移矩阵的函数关系与解析性质，确保解的完备性与一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边界矩阵不交换的开放XXX自旋-1/2链中，如何计算具有非平行边界磁场的关联函数？
• RQ2 边界-体分解在SoV框架中如何实现对分离态上局部算符作用的计算？
• RQ3 能否通过规范变换将非平行边界磁场下的关联函数与平行边界磁场下的关联函数联系起来？
• RQ4 在变换后的基中，与总 $ \sigma^z $-算符对易的准局部算符的结构是什么？
• RQ5 在允许非平行情况下出现均匀TQ-方程的约束下，基态在热力学极限下的行为如何？

主要发现

• 具有非平行边界磁场的开放XXX自旋-1/2链中的关联函数，可通过规范变换表示为平行边界情况下关联函数的线性组合。
• 分离态的边界-体分解被显式计算，使局部算符的作用可简化为对体态类似形式的作用。
• 关联函数的基本块在变换 $ \bar{E}_{1,m} $ 下等价，该变换与总 $ \sigma^z $-算符对易。
• 通过SoV方法重新推导了热力学极限下的基态密度，与已知结果一致。
• 通过变换将局部算符在分离态上的作用表示为纯边界分离态的线性组合后计算得出。
• 结果表明，即使一个边界为对角而另一个为三角形，只要边界场等价，有限位点上准局部算符的关联函数在热力学极限下仍保持一致。