[论文解读] All-order existence of and recursion relations for the operator product expansion in Yang-Mills theory

Markus B. Fröb, Jan Holland|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 58被引用 6

一句话总结

本文在规范场论中建立了算符乘积展开（OPE）的全阶存在性，至任意固定微扰阶，证明了通过递归关系可一致定义OPE系数。它表明这些系数对耦合常数 $ g $ 的导数满足一个封闭的方程组，从而可在微扰理论的所有阶次上实现系统性计算。

ABSTRACT

We prove the existence of the operator product expansion (OPE) in Euclidean Yang-Mills theories as a short-distance expansion, to all orders in perturbation theory. We furthermore show that the Ward identities of the underlying gauge theory are reflected in the OPE; especially, the OPE of an arbitrary number of gauge-invariant composite operators only involves gauge-invariant composite operators. Moreover, we derive recursion relations which allow to construct the OPE coefficients, the quantum BRST differential and the quantum antibracket order by order in perturbation theory, starting from the known free-theory objects. These relations are completely finite from the start, and do not need any further renormalisation as is usually the case in other approaches. Our results underline the importance of the OPE as a general structure underlying quantum field theories. The proofs are obtained within the framework of the Wilson-Wegner-Polchinski-Wetterich renormalisation group flow equations, and generalise similar results recently obtained for scalar field theories [J. Holland and S. Hollands, Commun. Math. Phys. 336 (2015) 1555; J. Holland and S. Hollands, J. Math. Phys. 56 (2015) 122303]. Combining their results with our recursion formula, we also obtain associativity of the OPE coefficients.

研究动机与目标

• 在杨-米尔斯理论中建立算符乘积展开（OPE）在所有微扰阶次的存在性。
• 解决在耦合常数 $ g $ 的所有阶次上一致定义OPE系数的挑战。
• 推导OPE系数对 $ g $ 的导数的封闭递归方程组。
• 确保可通过选择合适的重整化条件，使OPE在每一阶次均保持良好定义且有限。
• 提供一种仅依赖于低阶数据及其 $ g $-导数即可递归计算OPE系数的框架。

提出的方法

• 使用适用于无质量、表观可重整化量子场论的一般框架，在杨-米尔斯理论中形式化OPE。
• 通过对OPE系数关于耦合常数 $ g $ 求导，推导出其对应的微分方程组。
• 施加重整化条件，以消除OPE系数中的歧义性，并确保各阶次间的一致性。
• 利用重整化群结构与规范不变性，使 $ g $-导数的方程组得以封闭。
• 应用微扰场论技术，证明递归关系可逐阶求解。
• 证明递归关系是封闭且有限的，从而可实现OPE系数的迭代计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在杨-米尔斯理论中，算符乘积展开（OPE）是否可在所有微扰阶次上一致定义？
• RQ2 当对耦合常数 $ g $ 求导时，OPE系数是否满足一个封闭的方程组？
• RQ3 是否可以选择重整化条件，使得OPE在每一阶次均保持有限且良好定义？
• RQ4 是否可能仅利用低阶数据及其 $ g $-导数，递归地计算OPE系数？
• RQ5 规范不变性与重整化群结构在确保OPE在所有阶次上一致性的过程中起什么作用？

主要发现

• 在适当的重整化条件下，杨-米尔斯理论中的算符乘积展开（OPE）在所有微扰阶次上均存在。
• OPE系数对耦合常数 $ g $ 的导数满足一个封闭的微分方程组。
• 这些方程允许通过递归方式逐阶计算OPE系数，而无需显式进行高阶圈图计算。
• 该系统是有限且规范不变的，确保了微扰理论中所有阶次的一致性。
• 在给定低阶数据的前提下，该框架可系统性地构建任意固定阶次的OPE系数。
• 结果证实，OPE不仅在主导阶次有效，还可通过明确定义的递归结构推广至所有阶次。